Rozwiąż x^2-53x+196=0

$${ x }^{ 2 } -53x+196=0$$

Rozwiąż względem x

$$x=4$$

$$x=49$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-53x+196 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-53 ab=196$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 196.

$$-1,-196 -2,-98 -4,-49 -7,-28 -14,-14$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-196=-197 -2-98=-100 -4-49=-53 -7-28=-35 -14-14=-28$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -53.

$$a=-49 b=-4$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-49\right)\left(x-4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-49=0 i x-4=0.

$$x=49 x=4$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx+196. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-53 ab=1\times 196=196$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 196.

$$-1,-196 -2,-98 -4,-49 -7,-28 -14,-14$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1-196=-197 -2-98=-100 -4-49=-53 -7-28=-35 -14-14=-28$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -53.

$$a=-49 b=-4$$

Przepisz x^{2}-53x+196 jako \left(x^{2}-49x\right)+\left(-4x+196\right).

$$\left(x^{2}-49x\right)+\left(-4x+196\right)$$

x w pierwszej i -4 w drugiej grupie.

$$x\left(x-49\right)-4\left(x-49\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-49, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-49\right)\left(x-4\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-49=0 i x-4=0.

$$x=49 x=4$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$x^{2}-53x+196=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw 1 do a, -53 do b i 196 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{\left(-53\right)^{2}-4\times 196}}{2}$$

Podnieś do kwadratu -53.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-4\times 196}}{2}$$

Pomnóż -4 przez 196.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2809-784}}{2}$$

Dodaj 2809 do -784.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±\sqrt{2025}}{2}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 2025.

$$x=\frac{-\left(-53\right)±45}{2}$$

Liczba przeciwna do -53 to 53.

$$x=\frac{53±45}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{53±45}{2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj 53 do 45.

$$x=\frac{98}{2}$$

Podziel 98 przez 2.

$$x=49$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{53±45}{2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 45 od 53.

$$x=\frac{8}{2}$$

Podziel 8 przez 2.

$$x=4$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=49 x=4$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-53x+196=0$$

Odejmij 196 od obu stron równania.

$$x^{2}-53x+196-196=-196$$

Odjęcie 196 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$x^{2}-53x=-196$$

Podziel -53, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{53}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{53}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-53x+\left(-\frac{53}{2}\right)^{2}=-196+\left(-\frac{53}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{53}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-53x+\frac{2809}{4}=-196+\frac{2809}{4}$$

Dodaj -196 do \frac{2809}{4}.

$$x^{2}-53x+\frac{2809}{4}=\frac{2025}{4}$$

Współczynnik x^{2}-53x+\frac{2809}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{53}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{53}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{53}{2}=\frac{45}{2} x-\frac{53}{2}=-\frac{45}{2}$$

Dodaj \frac{53}{2} do obu stron równania.

$$x=49 x=4$$