Rozwiąż sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Rozwiąż względem x

$$x=9$$

Kroki rozwiązania

Odejmij -\sqrt{13-x} od obu stron równania.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{x+7} do potęgi 2, aby uzyskać x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{13-x} do potęgi 2, aby uzyskać 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Dodaj 4 i 13, aby uzyskać 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Odejmij 17-x od obu stron równania.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Aby znaleźć wartość przeciwną do 17-x, znajdź wartość przeciwną każdego czynnika.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Odejmij 17 od 7, aby uzyskać -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Połącz x i x, aby uzyskać 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Podnieś 4 do potęgi 2, aby uzyskać 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{13-x} do potęgi 2, aby uzyskać 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 16 przez 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Odejmij 208 od obu stron.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Odejmij 208 od 100, aby uzyskać -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Dodaj 16x do obu stron.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Połącz -40x i 16x, aby uzyskać -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Podziel obie strony przez 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: x^{2}+ax+bx-27. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest ujemne, liczba ujemna ma większą wartość bezwzględną niż dodatnia. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -27.

$$1,-27 3,-9$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę -6.

$$a=-9 b=3$$

Przepisz x^{2}-6x-27 jako \left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

x w pierwszej i 3 w drugiej grupie.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-9, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-9=0 i x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Podstaw 9 do x w równaniu: \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Uprość. Wartość x=9 spełnia równanie.

$$2=2$$

Podstaw -3 do x w równaniu: \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Uprość. Wartość x=-3 nie spełnia równania, ponieważ lewa i prawa strona mają przeciwne znaki.

$$-2=2$$

Podstaw 9 do x w równaniu: \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Uprość. Wartość x=9 spełnia równanie.

$$2=2$$

Równanie \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=9$$