Rozwiąż sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Rozwiąż względem x

$$x=5$$

$$x=1$$

Kroki rozwiązania

Odejmij -\sqrt{2x-1} od obu stron równania.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{3x+1} do potęgi 2, aby uzyskać 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{2x-1} do potęgi 2, aby uzyskać 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Odejmij 1 od 1, aby uzyskać 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Odejmij 2x od obu stron równania.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Połącz 3x i -2x, aby uzyskać x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Rozwiń \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{2x-1} do potęgi 2, aby uzyskać 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 4 przez 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Odejmij 8x od obu stron.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Połącz 2x i -8x, aby uzyskać -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Dodaj 4 do obu stron.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Dodaj 1 i 4, aby uzyskać 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż x^{2}-6x+5 na czynniki przy użyciu formuły x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=-6 ab=5$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b jest wartością ujemną, a i b są ujemne. Jedyna taka para to rozwiązanie systemowe.

$$a=-5 b=-1$$

Zapisz ponownie wyrażenie rozłożone na czynniki \left(x+a\right)\left(x+b\right), używając uzyskanych wartości.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-5=0 i x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Podstaw 5 do x w równaniu: \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Uprość. Wartość x=5 spełnia równanie.

$$1=1$$

Podstaw 1 do x w równaniu: \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Uprość. Wartość x=1 spełnia równanie.

$$1=1$$

Lista wszystkich rozwiązań równania \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$