Rozwiąż sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Rozwiąż względem x

$$x=y+2$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Dodaj 49 i 1, aby uzyskać 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Dodaj 9 i 25, aby uzyskać 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Dodaj 6x do obu stron.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Połącz -14x i 6x, aby uzyskać -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Połącz x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Odejmij 50 od obu stron.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Odejmij 50 od 34, aby uzyskać -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Dodaj 2y do obu stron.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Połącz -10y i 2y, aby uzyskać -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Odejmij y^{2} od obu stron.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Połącz y^{2} i -y^{2}, aby uzyskać 0.

$$-8x=-16-8y$$

Równanie jest w postaci standardowej.

$$-8x=-8y-16$$

Podziel obie strony przez -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

Dzielenie przez -8 cofa mnożenie przez -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Podziel -16-8y przez -8.

$$x=y+2$$

Podstaw y+2 do x w równaniu: \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Uprość. Wartość x=y+2 spełnia równanie.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

Równanie \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} ma unikatowe rozwiązanie.

$$x=y+2$$

Rozwiąż względem y

$$y=x-2$$

Kroki rozwiązania

Podnieś do kwadratu obie strony równania.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Dodaj 49 i 1, aby uzyskać 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Dodaj 9 i 25, aby uzyskać 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Podnieś \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} do potęgi 2, aby uzyskać 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Dodaj 10y do obu stron.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Połącz -2y i 10y, aby uzyskać 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Odejmij y^{2} od obu stron.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Połącz y^{2} i -y^{2}, aby uzyskać 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Odejmij 50 od obu stron.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Odejmij 50 od 34, aby uzyskać -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Dodaj 14x do obu stron.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Połącz -6x i 14x, aby uzyskać 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Połącz x^{2} i -x^{2}, aby uzyskać 0.

$$8y=-16+8x$$

Równanie jest w postaci standardowej.

$$8y=8x-16$$

Podziel obie strony przez 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

Dzielenie przez 8 cofa mnożenie przez 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Podziel -16+8x przez 8.

$$y=x-2$$

Podstaw x-2 do y w równaniu: \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Uprość. Wartość y=x-2 spełnia równanie.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

Równanie \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} ma unikatowe rozwiązanie.

$$y=x-2$$