Rozwiąż sinh(1)=

$$\sin h ( 1 ) =$$

Różniczkuj względem h

$$\cos(h)$$

Kroki z użyciem definicji pochodnej

Dla funkcji f\left(x\right) pochodna jest granicą funkcji \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}, gdy h dąży do 0, jeśli ta granica istnieje.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}h}(\sin(h))=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h+t)-\sin(h)}{t}\right)$$

Użyj formuły sumy dla sinusa.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t+h)-\sin(h)}{t}$$

Wyłącz przed nawias \sin(h).

$$\lim_{t\to 0}\frac{\sin(h)\left(\cos(t)-1\right)+\cos(h)\sin(t)}{t}$$

Przepisz granicę.

$$\left(\lim_{t\to 0}\sin(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\left(\lim_{t\to 0}\cos(h)\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Skorzystaj z faktu, że h jest wartością stałą przy obliczaniu granic, gdy t dąży do 0.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}\right)$$

Granicą \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} jest 1.

$$\sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h)$$

Aby obliczyć granicę \lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}, najpierw pomnóż licznik i mianownik przez \cos(t)+1.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)-1\right)\left(\cos(t)+1\right)}{t\left(\cos(t)+1\right)}\right)$$

Pomnóż \cos(t)+1 przez \cos(t)-1.

$$\lim_{t\to 0}\frac{\left(\cos(t)\right)^{2}-1}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Użyj tożsamości pitagorejskiej.

$$\lim_{t\to 0}-\frac{\left(\sin(t)\right)^{2}}{t\left(\cos(t)+1\right)}$$

Przepisz granicę.

$$\left(\lim_{t\to 0}-\frac{\sin(t)}{t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Granicą \lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h} jest 1.

$$-\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)$$

Skorzystaj z faktu, że funkcja \frac{\sin(t)}{\cos(t)+1} jest ciągła przy wartości 0.

$$\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{\cos(t)+1}\right)=0$$

Podstaw wartość 0 w wyrażeniu \sin(h)\left(\lim_{t\to 0}\frac{\cos(t)-1}{t}\right)+\cos(h).

$$\cos(h)$$

Oblicz

$$\sin(h)$$