Rozwiąż {l}{x+2y=7}{3x-2y=-3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 7 } \\ { 3 x - 2 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Kroki z użyciem podstawiania

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$x+2y=7$$

Odejmij 2y od obu stron równania.

$$x=-2y+7$$

Podstaw -2y+7 do x w drugim równaniu: 3x-2y=-3.

$$3\left(-2y+7\right)-2y=-3$$

Pomnóż 3 przez -2y+7.

$$-6y+21-2y=-3$$

Dodaj -6y do -2y.

$$-8y+21=-3$$

Odejmij 21 od obu stron równania.

$$-8y=-24$$

Podziel obie strony przez -8.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu x=-2y+7. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-2\times 3+7$$

Pomnóż -2 przez 3.

$$x=-6+7$$

Dodaj 7 do -6.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=3$$

Kroki z użyciem macierzy

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 3}&-\frac{2}{-2-2\times 3}\\-\frac{3}{-2-2\times 3}&\frac{1}{-2-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-3\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{1}{8}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=1,y=3$$

Kroki z użyciem eliminacji

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$x+2y=7,3x-2y=-3$$

Aby czynniki x i 3x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 3 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 1.

$$3x+3\times 2y=3\times 7,3x-2y=-3$$

Uprość.

$$3x+6y=21,3x-2y=-3$$

Odejmij 3x-2y=-3 od 3x+6y=21, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$3x-3x+6y+2y=21+3$$

Dodaj 3x do -3x. Czynniki 3x i -3x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$6y+2y=21+3$$

Dodaj 6y do 2y.

$$8y=21+3$$

Dodaj 21 do 3.

$$8y=24$$

Podziel obie strony przez 8.

$$y=3$$

Podstaw 3 do y w równaniu 3x-2y=-3. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$3x-2\times 3=-3$$

Pomnóż -2 przez 3.

$$3x-6=-3$$

Dodaj 6 do obu stron równania.

$$3x=3$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=1$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=1,y=3$$