Rozwiąż ∫ (from 1 to 2) of x-sqrt{1/x wrt x

$$\int_{ 1 }^{ 2 } x- \sqrt{ \frac{ 1 }{ x } } d x$$

Oblicz

$$\frac{7}{2}-2\sqrt{2}\approx 0,671572875$$

Kroki rozwiązania

Oblicz najpierw całkę nieoznaczoną.

$$\int x-\sqrt{\frac{1}{x}}\mathrm{d}x$$

Całkuj kres sumy przez sumę.

$$\int x\mathrm{d}x+\int -\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

Wyłącz przed nawias stałą w każdym ze składników.

$$\int x\mathrm{d}x-\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x\mathrm{d}x na \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\int \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x$$

Przepisz \frac{1}{\sqrt{x}} jako x^{-\frac{1}{2}}. Ponieważ \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, Zamień \int x^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x na \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}. Upraszczaj i konwertuj z formy wykładniczej na pierwiastkową. Pomnóż -1 przez 2\sqrt{x}.

$$\frac{x^{2}}{2}-2\sqrt{x}$$

Całka oznaczona to funkcja pierwotna obliczona przy górnej granicy całkowania minus funkcja pierwotna obliczona przy dolnej granicy całkowania.

$$\frac{2^{2}}{2}-2\times 2^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{1^{2}}{2}-2\times 1^{\frac{1}{2}}\right)$$

Uprość.

$$\frac{7}{2}-2\sqrt{2}$$