Rozwiąż 5/x+1+6/x-1

$$\frac{ 5 }{ x+1 } + \frac{ 6 }{ x-1 }$$

Oblicz

$$\frac{11x+1}{x^{2}-1}$$

Procedura krótkiego rozwiązania

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x+1 i x-1 to \left(x-1\right)\left(x+1\right). Pomnóż \frac{5}{x+1} przez \frac{x-1}{x-1}. Pomnóż \frac{6}{x-1} przez \frac{x+1}{x+1}.

$$\frac{5\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{6\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Ponieważ \frac{5\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} i \frac{6\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\frac{5\left(x-1\right)+6\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu 5\left(x-1\right)+6\left(x+1\right).

$$\frac{5x-5+6x+6}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Połącz podobne czynniki w równaniu 5x-5+6x+6.

$$\frac{11x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}$$

Rozwiń \left(x-1\right)\left(x+1\right).

$$\frac{11x+1}{x^{2}-1}$$

Różniczkuj względem x

$$-\frac{11x^{2}+2x+11}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Kroki z użyciem reguły różniczkowania ilorazu

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x+1 i x-1 to \left(x-1\right)\left(x+1\right). Pomnóż \frac{5}{x+1} przez \frac{x-1}{x-1}. Pomnóż \frac{6}{x-1} przez \frac{x+1}{x+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{6\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Ponieważ \frac{5\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} i \frac{6\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)} mają ten sam mianownik, Dodaj je przez dodanie ich liczników.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5\left(x-1\right)+6\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu 5\left(x-1\right)+6\left(x+1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x-5+6x+6}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Połącz podobne czynniki w równaniu 5x-5+6x+6.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{11x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})$$

Rozważ \left(x-1\right)\left(x+1\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{11x+1}{x^{2}-1^{2}})$$

Podnieś 1 do potęgi 2, aby uzyskać 1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{11x+1}{x^{2}-1})$$

Dla dowolnych dwóch różniczkowalnych funkcji pochodna ilorazu dwóch funkcji to mianownik pomnożony przez pochodną licznika minus licznik pomnożony przez pochodną mianownika, wszystko podzielone przez kwadrat mianownika.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(11x^{1}+1)-\left(11x^{1}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}-1)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Pochodna wielomianu jest sumą pochodnych jego czynników. Pochodna dowolnego czynnika stałego wynosi 0. Pochodna czynnika ax^{n} wynosi nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\times 11x^{1-1}-\left(11x^{1}+1\right)\times 2x^{2-1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\frac{\left(x^{2}-1\right)\times 11x^{0}-\left(11x^{1}+1\right)\times 2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Rozwiń przy użyciu właściwości rozdzielności.

$$\frac{x^{2}\times 11x^{0}-11x^{0}-\left(11x^{1}\times 2x^{1}+2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, dodaj ich wykładniki.

$$\frac{11x^{2}-11x^{0}-\left(11\times 2x^{1+1}+2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\frac{11x^{2}-11x^{0}-\left(22x^{2}+2x^{1}\right)}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Usuń zbędne nawiasy.

$$\frac{11x^{2}-11x^{0}-22x^{2}-2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Połącz podobne czynniki.

$$\frac{\left(11-22\right)x^{2}-11x^{0}-2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Odejmij 22 od 11.

$$\frac{-11x^{2}-11x^{0}-2x^{1}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Dla dowolnego czynnika t spełnione jest t^{1}=t.

$$\frac{-11x^{2}-11x^{0}-2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$

Dla dowolnego czynnika t oprócz 0 spełnione jest t^{0}=1.

$$\frac{-11x^{2}-11-2x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}$$