Rozwiąż frac{sqrt{2}left(4-sqrt{2}right)}{2left(sqrt{2}+1right)}

$$\frac{ \sqrt{ 2 } \left( 4- \sqrt{ 2 } \right) }{ 2 \left( \sqrt{ 2 } +1 \right) }$$

Oblicz

$$5-3\sqrt{2}\approx 0,757359313$$

Kroki rozwiązania

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć \sqrt{2} przez 4-\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć 2 przez \sqrt{2}+1.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2}$$

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2} przez mnożenie licznika i mianownika przez 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}$$

Rozważ \left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Rozwiń \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\times 2-2^{2}}$$

Pomnóż 4 przez 2, aby uzyskać 8.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-2^{2}}$$

Podnieś 2 do potęgi 2, aby uzyskać 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-4}$$

Odejmij 4 od 8, aby uzyskać 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4}$$

Aby zastosować właściwość rozdzielności, pomnóż każdy czynnik wartości 4\sqrt{2}-2 przez każdy czynnik wartości 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{8\left(\sqrt{2}\right)^{2}-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Kwadrat liczby \sqrt{2} to 2.

$$\frac{8\times 2-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Pomnóż 8 przez 2, aby uzyskać 16.

$$\frac{16-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Połącz -8\sqrt{2} i -4\sqrt{2}, aby uzyskać -12\sqrt{2}.

$$\frac{16-12\sqrt{2}+4}{4}$$

Dodaj 16 i 4, aby uzyskać 20.

$$\frac{20-12\sqrt{2}}{4}$$

Podziel każdy czynnik wyrażenia 20-12\sqrt{2} przez 4, aby uzyskać 5-3\sqrt{2}.

$$5-3\sqrt{2}$$