Rozwiąż x^2/2+10/3x+2=0

$$\frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 10 } { 3 } x + 2 = 0$$

Rozwiąż względem x

$$x=-6$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Pomnóż obie strony równania przez 6 (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości 2,3).

$$3x^{2}+20x+12=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: 3x^{2}+ax+bx+12. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=20 ab=3\times 12=36$$

Ponieważ ab ma wartość dodatnią, a i b mają ten sam znak. Ponieważ a+b ma wartość dodatnią, a i b są dodatnie. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 20.

$$a=2 b=18$$

Przepisz 3x^{2}+20x+12 jako \left(3x^{2}+2x\right)+\left(18x+12\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(18x+12\right)$$

x w pierwszej i 6 w drugiej grupie.

$$x\left(3x+2\right)+6\left(3x+2\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik 3x+2, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(3x+2\right)\left(x+6\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: 3x+2=0 i x+6=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-6$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x+2=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw \frac{1}{2} do a, \frac{10}{3} do b i 2 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{2}\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Podnieś do kwadratu \frac{10}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{100}{9}-4\times \frac{1}{2}\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Pomnóż -4 przez \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{100}{9}-2\times 2}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Pomnóż -2 przez 2.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{100}{9}-4}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Dodaj \frac{100}{9} do -4.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\sqrt{\frac{64}{9}}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości \frac{64}{9}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{2\times \frac{1}{2}}$$

Pomnóż 2 przez \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{1}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{1} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -\frac{10}{3} do \frac{8}{3}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-\frac{\frac{2}{3}}{1}$$

Podziel -\frac{2}{3} przez 1.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-\frac{10}{3}±\frac{8}{3}}{1} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij -\frac{10}{3} od \frac{8}{3}, znajdując wspólny mianownik i odejmując liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=-\frac{6}{1}$$

Podziel -6 przez 1.

$$x=-6$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-\frac{2}{3} x=-6$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x+2=0$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x+2-2=-2$$

Odjęcie 2 od tej samej wartości pozostawia wartość 0.

$$\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x=-2$$

Pomnóż obie strony przez 2.

$$\frac{\frac{1}{2}x^{2}+\frac{10}{3}x}{\frac{1}{2}}=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Dzielenie przez \frac{1}{2} cofa mnożenie przez \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{\frac{10}{3}}{\frac{1}{2}}x=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Podziel \frac{10}{3} przez \frac{1}{2}, mnożąc \frac{10}{3} przez odwrotność \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=-\frac{2}{\frac{1}{2}}$$

Podziel -2 przez \frac{1}{2}, mnożąc -2 przez odwrotność \frac{1}{2}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x=-4$$

Podziel \frac{20}{3}, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać \frac{10}{3}. Następnie Dodaj kwadrat \frac{10}{3} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}=-4+\left(\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu \frac{10}{3}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-4+\frac{100}{9}$$

Dodaj -4 do \frac{100}{9}.

$$x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{64}{9}$$

Współczynnik x^{2}+\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Uprość.

$$x+\frac{10}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{10}{3}=-\frac{8}{3}$$

Odejmij \frac{10}{3} od obu stron równania.

$$x=-\frac{2}{3} x=-6$$