Rozwiąż v/v^2+17v+72-8/v^2+15v+56

$$\frac { v } { v ^ { 2 } + 17 v + 72 } - \frac { 8 } { v ^ { 2 } + 15 v + 56 }$$

Oblicz

$$\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)}$$

Procedura krótkiego rozwiązania

Rozłóż v^{2}+17v+72 na czynniki. Rozłóż v^{2}+15v+56 na czynniki.

$$\frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)}$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości \left(v+8\right)\left(v+9\right) i \left(v+7\right)\left(v+8\right) to \left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right). Pomnóż \frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)} przez \frac{v+7}{v+7}. Pomnóż \frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)} przez \frac{v+9}{v+9}.

$$\frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Ponieważ \frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} i \frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right).

$$\frac{v^{2}+7v-8v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Połącz podobne czynniki w równaniu v^{2}+7v-8v-72.

$$\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Rozłóż na czynniki wyrażenia, dla których jeszcze tego nie zrobiono, w równaniu \frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}.

$$\frac{\left(v-9\right)\left(v+8\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}$$

Skróć wartość v+8 w liczniku i mianowniku.

$$\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)}$$

Rozwiń \left(v+7\right)\left(v+9\right).

$$\frac{v-9}{v^{2}+16v+63}$$

Różniczkuj względem v

$$\frac{207+18v-v^{2}}{v^{4}+32v^{3}+382v^{2}+2016v+3969}$$

Kroki z użyciem reguły różniczkowania ilorazu

Rozłóż v^{2}+17v+72 na czynniki. Rozłóż v^{2}+15v+56 na czynniki.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)})$$

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości \left(v+8\right)\left(v+9\right) i \left(v+7\right)\left(v+8\right) to \left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right). Pomnóż \frac{v}{\left(v+8\right)\left(v+9\right)} przez \frac{v+7}{v+7}. Pomnóż \frac{8}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)} przez \frac{v+9}{v+9}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}-\frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Ponieważ \frac{v\left(v+7\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} i \frac{8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Wykonaj operacje mnożenia w równaniu v\left(v+7\right)-8\left(v+9\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}+7v-8v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Połącz podobne czynniki w równaniu v^{2}+7v-8v-72.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Rozłóż na czynniki wyrażenia, dla których jeszcze tego nie zrobiono, w równaniu \frac{v^{2}-v-72}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{\left(v-9\right)\left(v+8\right)}{\left(v+7\right)\left(v+8\right)\left(v+9\right)})$$

Skróć wartość v+8 w liczniku i mianowniku.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v-9}{\left(v+7\right)\left(v+9\right)})$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć v+7 przez v+9 i połączyć podobne czynniki.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(\frac{v-9}{v^{2}+16v+63})$$

Dla dowolnych dwóch różniczkowalnych funkcji pochodna ilorazu dwóch funkcji to mianownik pomnożony przez pochodną licznika minus licznik pomnożony przez pochodną mianownika, wszystko podzielone przez kwadrat mianownika.

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{1}-9)-\left(v^{1}-9\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}v}(v^{2}+16v^{1}+63)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Pochodna wielomianu jest sumą pochodnych jego czynników. Pochodna dowolnego czynnika stałego wynosi 0. Pochodna czynnika ax^{n} wynosi nax^{n-1}.

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)v^{1-1}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{2-1}+16v^{1-1}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Uprość.

$$\frac{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)v^{0}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{1}+16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Pomnóż v^{2}+16v^{1}+63 przez v^{0}.

$$\frac{v^{2}v^{0}+16v^{1}v^{0}+63v^{0}-\left(v^{1}-9\right)\left(2v^{1}+16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Pomnóż v^{1}-9 przez 2v^{1}+16v^{0}.

$$\frac{v^{2}v^{0}+16v^{1}v^{0}+63v^{0}-\left(v^{1}\times 2v^{1}+v^{1}\times 16v^{0}-9\times 2v^{1}-9\times 16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Aby pomnożyć potęgi o tej samej podstawie, dodaj ich wykładniki.

$$\frac{v^{2}+16v^{1}+63v^{0}-\left(2v^{1+1}+16v^{1}-9\times 2v^{1}-9\times 16v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Uprość.

$$\frac{v^{2}+16v^{1}+63v^{0}-\left(2v^{2}+16v^{1}-18v^{1}-144v^{0}\right)}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Połącz podobne czynniki.

$$\frac{-v^{2}+18v^{1}+207v^{0}}{\left(v^{2}+16v^{1}+63\right)^{2}}$$

Dla dowolnego czynnika t spełnione jest t^{1}=t.

$$\frac{-v^{2}+18v+207v^{0}}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$

Dla dowolnego czynnika t oprócz 0 spełnione jest t^{0}=1.

$$\frac{-v^{2}+18v+207\times 1}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$

Dla dowolnego czynnika t spełnione jest t\times 1=t i 1t=t.

$$\frac{-v^{2}+18v+207}{\left(v^{2}+16v+63\right)^{2}}$$