Rozwiąż 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Rozwiąż względem x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Kroki z użyciem podstawiania

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 2.

$$3x+2y=22$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 2.

$$2x+y=14$$

Aby rozwiązać układ dwóch równań przy użyciu podstawiania, najpierw rozwiąż jedno z równań względem jednej ze zmiennych. Następnie podstaw wynik do tej zmiennej w drugim równaniu.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Wybierz jedno z równań i Rozwiąż je dla x, izolując x po lewej stronie znaku równości.

$$3x+2y=22$$

Odejmij 2y od obu stron równania.

$$3x=-2y+22$$

Podziel obie strony przez 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Pomnóż \frac{1}{3} przez -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Podstaw \frac{-2y+22}{3} do x w drugim równaniu: 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Pomnóż 2 przez \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Dodaj -\frac{4y}{3} do y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Odejmij \frac{44}{3} od obu stron równania.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Pomnóż obie strony przez -3.

$$y=2$$

Podstaw 2 do y w równaniu x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Pomnóż -\frac{2}{3} przez 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Dodaj \frac{22}{3} do -\frac{4}{3}, znajdując wspólny mianownik i dodając liczniki. Następnie zredukuj ułamek do najmniejszych czynników, jeśli to możliwe.

$$x=6$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=6,y=2$$

Kroki z użyciem macierzy

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 2.

$$3x+2y=22$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 2.

$$2x+y=14$$

Nadaj równaniom postać standardową, a następnie użyj macierzy w celu rozwiązania układu równań.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Zapisz równania w formie macierzy.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Mnożenie lewostronne równania przez odwrotność macierzy \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest macierzą jednostkową.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze po lewej stronie znaku równości.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

W przypadku macierzy 2\times 2\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) macierzą odwrotną jest \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), dlatego równanie macierzy może być ponownie zapisane jako problem mnożenia macierzy.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Pomnóż macierze.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Wykonaj operacje arytmetyczne.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Wyodrębnij elementy macierzy x i y.

$$x=6,y=2$$

Kroki z użyciem eliminacji

Uwzględnij pierwsze równanie. Pomnóż obie strony równania przez 2.

$$3x+2y=22$$

Uwzględnij drugie równanie. Pomnóż obie strony równania przez 2.

$$2x+y=14$$

Aby można było uzyskać rozwiązanie przez eliminację, współczynniki jednej ze zmiennych muszą być jednakowe w obu równaniach, tak aby zmienna została skrócona po odjęciu jednego równania od drugiego.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Aby czynniki 3x i 2x były równe, pomnóż wszystkie czynniki po obu stronach pierwszego równania przez 2 oraz wszystkie czynniki po obu stronach drugiego równania przez 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Uprość.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Odejmij 6x+3y=42 od 6x+4y=44, odejmując podobne czynniki po obu stronach znaku równości.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Dodaj 6x do -6x. Czynniki 6x i -6x skracają się i pozostaje równanie z tylko jedną zmienną, które można rozwiązać.

$$4y-3y=44-42$$

Dodaj 4y do -3y.

$$y=44-42$$

Dodaj 44 do -42.

$$y=2$$

Podstaw 2 do y w równaniu 2x+y=14. Ponieważ wynikowe równanie zawiera tylko jedną zmienną, można je rozwiązać bezpośrednio względem x.

$$2x+2=14$$

Odejmij 2 od obu stron równania.

$$2x=12$$

Podziel obie strony przez 2.

$$x=6$$

System jest teraz rozwiązany.

$$x=6,y=2$$