Rozwiąż 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Rozwiąż względem x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Kroki z użyciem rozłożenia na czynniki przez grupowanie

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -6,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez x\left(x+6\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x+6).

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x+6 przez 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Połącz 2x i x\times 15, aby uzyskać 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Odejmij 6x od obu stron.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Połącz 17x i -6x, aby uzyskać 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Zmień postać wielomianu, aby nadać mu postać standardową. Umieść czynniki w kolejności od najwyższej do najniższej potęgi.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Aby rozwiązać równanie, rozłóż na czynniki lewą stronę przez grupowanie. Najpierw należy zapisać ponownie lewą stronę jako: -x^{2}+ax+bx+12. Aby znaleźć a i b, skonfiguruj system do rozwiązania.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Ponieważ ab jest wartością ujemną, a i b mają przeciwne znaki. Ponieważ a+b jest dodatnie, liczba dodatnia ma większą wartość bezwzględną niż ujemna. Lista wszystkich takich par liczb całkowitych, które dają iloczyn -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Oblicz sumę dla każdej pary.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Rozwiązanie to para, która daje sumę 11.

$$a=12 b=-1$$

Przepisz -x^{2}+11x+12 jako \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

-x w pierwszej i -1 w drugiej grupie.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Wyłącz przed nawias wspólny czynnik x-12, używając właściwości rozdzielności.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Aby znaleźć rozwiązania równań, rozwiąż: x-12=0 i -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -6,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez x\left(x+6\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x+6).

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x+6 przez 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Połącz 2x i x\times 15, aby uzyskać 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Odejmij 6x od obu stron.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Połącz 17x i -6x, aby uzyskać 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -1 do a, 11 do b i 12 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Podnieś do kwadratu 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 4 przez 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 121 do 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy wartości 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-11±13}{-2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -11 do 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Podziel 2 przez -2.

$$x=-1$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-11±13}{-2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij 13 od -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Podziel -24 przez -2.

$$x=12$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=-1 x=12$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -6,0, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez x\left(x+6\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x,x+6).

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x+6 przez 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Połącz 2x i x\times 15, aby uzyskać 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x przez x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Odejmij 6x od obu stron.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Połącz 17x i -6x, aby uzyskać 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Odejmij 12 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$11x-x^{2}=-12$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Podziel obie strony przez -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Dzielenie przez -1 cofa mnożenie przez -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Podziel 11 przez -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Podziel -12 przez -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Podziel -11, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{11}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{11}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{11}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Dodaj 12 do \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Współczynnik x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Dodaj \frac{11}{2} do obu stron równania.

$$x=12 x=-1$$