Rozwiąż 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Rozwiąż względem x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Kroki z użyciem formuły kwadratowej

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -1,1, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(x-1\right)\left(x+1\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x+1,x-1,x^{2}-1).

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x+1 przez 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Połącz x i 2x, aby uzyskać 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Dodaj -1 i 2, aby uzyskać 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Odejmij 2x od obu stron.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Połącz 3x i -2x, aby uzyskać x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Wszystkie równania w postaci ax^{2}+bx+c=0 można rozwiązywać za pomocą formuły kwadratowej: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formuła kwadratowa daje dwa rozwiązania — jedno, w którym operator ± jest dodawaniem, i drugie, w którym jest on odejmowaniem.

$$-x^{2}+x+1=0$$

To równanie ma postać standardową: ax^{2}+bx+c=0. Podstaw -1 do a, 1 do b i 1 do c w formule kwadratowej \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Podnieś do kwadratu 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż -4 przez -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Dodaj 1 do 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Pomnóż 2 przez -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} dla operatora ± będącego plusem. Dodaj -1 do \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Podziel -1+\sqrt{5} przez -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Teraz rozwiąż równanie x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} dla operatora ± będącego minusem. Odejmij \sqrt{5} od -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Podziel -1-\sqrt{5} przez -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Równanie jest teraz rozwiązane.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Kroki dla dopełniania do kwadratu

Zmienna x nie może być równa żadnej z wartości -1,1, ponieważ nie zdefiniowano dzielenia przez zero. Pomnóż obie strony równania przez \left(x-1\right)\left(x+1\right) (najmniejsza wspólna wielokrotność wartości x+1,x-1,x^{2}-1).

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć x+1 przez 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Połącz x i 2x, aby uzyskać 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Dodaj -1 i 2, aby uzyskać 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Odejmij x^{2} od obu stron.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Odejmij 2x od obu stron.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Połącz 3x i -2x, aby uzyskać x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Odejmij 1 od obu stron. Wynikiem odjęcia dowolnej wartości od zera jest negacja tej wartości.

$$x-x^{2}=-1$$

Równania kwadratowe takie jak to można rozwiązywać przez dopełnianie do kwadratu. Aby można było dopełnić do kwadratu, równanie musi mieć postać x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Podziel obie strony przez -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Dzielenie przez -1 cofa mnożenie przez -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Podziel 1 przez -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Podziel -1 przez -1.

$$x^{2}-x=1$$

Podziel -1, współczynnik x terminu, 2, aby uzyskać -\frac{1}{2}. Następnie Dodaj kwadrat -\frac{1}{2} do obu stron równania. Ten krok powoduje, że lewa strona równania jest doskonałym kwadratem.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Podnieś do kwadratu -\frac{1}{2}, podnosząc do kwadratu licznik i mianownik ułamka.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Dodaj 1 do \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Współczynnik x^{2}-x+\frac{1}{4}. Ogólnie rzecz biorąc, gdy x^{2}+bx+c jest idealny kwadrat, zawsze może być uwzględniany jako \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Oblicz pierwiastek kwadratowy obu stron równania.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Uprość.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Dodaj \frac{1}{2} do obu stron równania.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$