Rozwiąż 1/n-1/n+1

$$\frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$$

Oblicz

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Procedura krótkiego rozwiązania

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości n i n+1 to n\left(n+1\right). Pomnóż \frac{1}{n} przez \frac{n+1}{n+1}. Pomnóż \frac{1}{n+1} przez \frac{n}{n}.

$$\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}$$

Ponieważ \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} i \frac{n}{n\left(n+1\right)} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}$$

Połącz podobne czynniki w równaniu n+1-n.

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Rozwiń n\left(n+1\right).

$$\frac{1}{n^{2}+n}$$

Różniczkuj względem n

$$-\frac{2n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}$$

Kroki z użyciem reguły łańcuchowej

Aby dodać lub odjąć wyrażenia, rozwiń je w celu ustawienia takich samych mianowników. Najmniejsza wspólna wielokrotność wartości n i n+1 to n\left(n+1\right). Pomnóż \frac{1}{n} przez \frac{n+1}{n+1}. Pomnóż \frac{1}{n+1} przez \frac{n}{n}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)})$$

Ponieważ \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} i \frac{n}{n\left(n+1\right)} mają ten sam mianownik, Odejmij je przez odjęcie ich liczników.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)})$$

Połącz podobne czynniki w równaniu n+1-n.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n\left(n+1\right)})$$

Użyj właściwości rozdzielności, aby pomnożyć n przez n+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n^{2}+n})$$

Jeśli F jest złożeniem dwóch różniczkowalnych funkcji f\left(u\right) i u=g\left(x\right) (tj. F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right)), to pochodna F jest pochodną f względem u pomnożoną przez pochodną g względem x (tj. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right)).

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(n^{2}+n^{1})$$

Pochodna wielomianu jest sumą pochodnych jego czynników. Pochodna dowolnego czynnika stałego wynosi 0. Pochodna czynnika ax^{n} wynosi nax^{n-1}.

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(2n^{2-1}+n^{1-1}\right)$$

Uprość.

$$\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(-2n^{1}-n^{0}\right)$$

Dla dowolnego czynnika t spełnione jest t^{1}=t.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-n^{0}\right)$$

Dla dowolnego czynnika t oprócz 0 spełnione jest t^{0}=1.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-1\right)$$