Rozwiąż frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Rozwiąż względem b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Kroki dla rozwiązywania równania liniowego

Umożliwia racjonalizację mianownika \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} przez mnożenie licznika i mianownika przez \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Rozważ \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Mnożenie można przekształcić w różnicę kwadratów, stosując regułę: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Podnieś do kwadratu \sqrt{3}. Podnieś do kwadratu 1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Odejmij 1 od 3, aby uzyskać 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Pomnóż \sqrt{3}-1 przez \sqrt{3}-1, aby uzyskać \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Użyj dwumianu Newtona \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, aby rozwinąć równanie \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Kwadrat liczby \sqrt{3} to 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Dodaj 3 i 1, aby uzyskać 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Podziel każdy czynnik wyrażenia 4-2\sqrt{3} przez 2, aby uzyskać 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Zamień strony, aby wszystkie czynniki zmienne występowały po lewej stronie.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Odejmij a od obu stron.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Równanie jest w postaci standardowej.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Podziel obie strony przez \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Dzielenie przez \sqrt{3} cofa mnożenie przez \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Podziel -\sqrt{3}-a+2 przez \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Rozwiąż względem a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$