{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)} ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰੋ

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y ਲਈ ਹਲ ਕਰੋ

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

ਸਬਸੀਟਿਉਸ਼ਨ ਅਤੇ ਵਰਗਾਕਾਰ ਸੂਤਰ ਨੂੰ ਵਰਤ ਰਹੇ ਸਟੈਪਸ

ਪਹਿਲੇ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਹਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਨੂੰ 12, ਜੋ 4,3 ਦਾ ਲੀਸਟ ਕੋਮਨ ਡੀਨੋਮਿਨੇਟਰ ਹੈ, ਦੇ ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ 'ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। k ਨੂੰ x+1 ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਲਈ ਡਿਸਟ੍ਰੀਬਿਉਟਿਵ ਪ੍ਰੋਪਰਟੀ ਨੂੰ ਵਰਤੋਂ।

$$y=kx+k$$

ਦੂਜੇ ਸਮੀਕਰਨ 3x^{2}+4y^{2}=12 ਵਿੱਚ, y ਲਈ kx+k ਨੂੰ ਬਦਲ ਦਿਓ।

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

kx+k ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

4 ਨੂੰ k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

3x^{2} ਨੂੰ 4k^{2}x^{2} ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਦੋਹਾਂ ਪਾਸਿਆਂ ਤੋਂ 12 ਨੂੰ ਘਟਾਓ।

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਮਿਆਰੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੈ: ax^{2}+bx+c=0. ਵਰਗਾਤਮਕ ਸੂਤਰ \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ਵਿੱਚ 3+4k^{2} ਨੂੰ a ਲਈ, 4\times 2kk ਨੂੰ b ਲਈ, ਅਤੇ 4k^{2}-12 ਨੂੰ c ਲਈ ਬਦਲ ਦਿਓ।

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

4\times 2kk ਦਾ ਵਰਗ ਕਰੋ।

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-4 ਨੂੰ 3+4k^{2} ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-12-16k^{2} ਨੂੰ 4k^{2}-12 ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

64k^{4} ਨੂੰ 144+144k^{2}-64k^{4} ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144 ਦਾ ਵਰਗ ਮੂਲ ਲਓ।

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

2 ਨੂੰ 3+4k^{2} ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

ਹੁਣ, ਸਮੀਕਰਨ x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} ਨੂੰ ਸੁਲਝਾਓ ਜਦੋਂ ± ਪਲੱਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। -8k^{2} ਨੂੰ 12\sqrt{k^{2}+1} ਵਿੱਚ ਜੋੜੋ।

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} ਨੂੰ 6+8k^{2} ਦੇ ਨਾਲ ਤਕਸੀਮ ਕਰੋ।

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

ਹੁਣ, ਸਮੀਕਰਨ x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} ਨੂੰ ਸੁਲਝਾਓ ਜਦੋਂ ± ਮਾਈਨਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। -8k^{2} ਵਿੱਚੋਂ 12\sqrt{k^{2}+1} ਨੂੰ ਘਟਾਓ।

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} ਨੂੰ 6+8k^{2} ਦੇ ਨਾਲ ਤਕਸੀਮ ਕਰੋ।

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x ਲਈ ਦੋ ਹਲ: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} ਅਤੇ -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਸਮੀਕਰਨ y=kx+k ਵਿੱਚ x ਲਈ \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਸੰਗਤ ਹਲ ਕੱਢੋ ਜੋ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰੇ।

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

k ਨੂੰ \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

ਹੁਣ, ਸਮੀਕਰਨ y=kx+k ਵਿੱਚ x ਲਈ -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} ਨੂੰ ਬਦਲੋ ਅਤੇ y ਲਈ ਸੰਗਤ ਹਲ ਕੱਢਣ ਲਈ ਹਲ ਕਰੋ, ਜੋ ਦੋਵੇਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰੇ।

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

k ਨੂੰ -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} ਵਾਰ ਗੁਣਾ ਕਰੋ।

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

ਸਿਸਟਮ ਹੁਣ ਸੁਲਝ ਗਿਆ ਹੈ।

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y ਲਈ ਹਲ ਕਰੋ (ਜਟਿਲ ਹੱਲ)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$