3n^2-n-420 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$3 n ^ { 2 } - n - 420$$

ଗୁଣକ

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

ସମାଧାନ କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରିବା ଦ୍ୱାରା ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି 3n^{2}+an+bn-420 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=-1 ab=3\left(-420\right)=-1260$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -1260 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି -1 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-36 b=35$$

\left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right) ଭାବରେ 3n^{2}-n-420 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 3n ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 35 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$3n\left(n-12\right)+35\left(n-12\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ n-12 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଟ୍ରାନ୍ସଫର୍ମେସନ୍‌ ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)ବ୍ୟବହାର କରି କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍‌‌କୁ ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ କରାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଠାରେ x_{1} ଏବଂ x_{2} ଦ୍ୱିଘାତ ସମୀକରଣ ax^{2}+bx+c=0 ର ସମାଧାନ ଅଟେ.

$$3n^{2}-n-420=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

-4 କୁ 3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

-12 କୁ -420 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+5040}}{2\times 3}$$

1 କୁ 5040 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5041}}{2\times 3}$$

5041 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±71}{2\times 3}$$

-1 ର ବିପରୀତ ହେଉଛି 1.

$$n=\frac{1±71}{2\times 3}$$

2 କୁ 3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$n=\frac{1±71}{6}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ n=\frac{1±71}{6} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 1 କୁ 71 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$n=\frac{72}{6}$$

72 କୁ 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$n=12$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ n=\frac{1±71}{6} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 1 ରୁ 71 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$n=-\frac{70}{6}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{-70}{6} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$n=-\frac{35}{3}$$

ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) ବ୍ୟବାହର କରି ମୂଳ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ଗୁଣକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରନ୍ତୁ. x_{1} ପାଇଁ 12 ଏବଂ x_{2} ପାଇଁ -\frac{35}{3} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n-\left(-\frac{35}{3}\right)\right)$$

ଫର୍ମ p-\left(-q\right) ରୁ p+q ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସମସ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିଗୁଡିକ ସରଳୀକୃତ କରନ୍ତୁ.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n+\frac{35}{3}\right)$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା n ସହିତ \frac{35}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\times \frac{3n+35}{3}$$

3 ଏବଂ 3 ରେ ଗରିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣନିୟକ 3 ବାତିଲ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$3n^{2}-n-420=\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

ମୂଲ୍ୟାୟନ କରିବା

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$