2943=a^2+1/2a*41*4 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$2943 = a ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } a \cdot 41 \cdot 4$$

a ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$a=-109$$

$$a=27$$

ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\frac{41}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 41 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2943=a^{2}+\frac{41}{2}a\times 4$$

82 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{41}{2} ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2943=a^{2}+82a$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$a^{2}+82a=2943$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2943 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a^{2}+82a-2943=0$$

ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ସୂତ୍ର a^{2}+\left(a+b\right)a+ab=\left(a+a\right)\left(a+b\right) ବ୍ୟବହାର କରି a^{2}+82a-2943 ର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=82 ab=-2943$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -2943 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,2943 -3,981 -9,327 -27,109$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+2943=2942 -3+981=978 -9+327=318 -27+109=82$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 82 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-27 b=109$$

ପ୍ରାପ୍ତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରି ଫ୍ୟାକ୍ଟରଯୁକ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \left(a+a\right)\left(a+b\right) ପୁନଃଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(a-27\right)\left(a+109\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, a-27=0 ଏବଂ a+109=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$a=27 a=-109$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\frac{41}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 41 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2943=a^{2}+\frac{41}{2}a\times 4$$

82 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{41}{2} ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2943=a^{2}+82a$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$a^{2}+82a=2943$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2943 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a^{2}+82a-2943=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ a^{2}+aa+ba-2943 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=82 ab=1\left(-2943\right)=-2943$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -2943 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,2943 -3,981 -9,327 -27,109$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+2943=2942 -3+981=978 -9+327=318 -27+109=82$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 82 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=-27 b=109$$

\left(a^{2}-27a\right)+\left(109a-2943\right) ଭାବରେ a^{2}+82a-2943 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(a^{2}-27a\right)+\left(109a-2943\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ a ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 109 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$a\left(a-27\right)+109\left(a-27\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ a-27 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(a-27\right)\left(a+109\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, a-27=0 ଏବଂ a+109=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$a=27 a=-109$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\frac{41}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 41 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2943=a^{2}+\frac{41}{2}a\times 4$$

82 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{41}{2} ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2943=a^{2}+82a$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$a^{2}+82a=2943$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2943 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a^{2}+82a-2943=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 1, b ପାଇଁ 82, ଏବଂ c ପାଇଁ -2943 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-82±\sqrt{82^{2}-4\left(-2943\right)}}{2}$$

ବର୍ଗ 82.

$$a=\frac{-82±\sqrt{6724-4\left(-2943\right)}}{2}$$

-4 କୁ -2943 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-82±\sqrt{6724+11772}}{2}$$

6724 କୁ 11772 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-82±\sqrt{18496}}{2}$$

18496 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{-82±136}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ a=\frac{-82±136}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -82 କୁ 136 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a=\frac{54}{2}$$

54 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$a=27$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ a=\frac{-82±136}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -82 ରୁ 136 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a=-\frac{218}{2}$$

-218 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$a=-109$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$a=27 a=-109$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\frac{41}{2} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{1}{2} ଏବଂ 41 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2943=a^{2}+\frac{41}{2}a\times 4$$

82 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ \frac{41}{2} ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2943=a^{2}+82a$$

ପାର୍ଶ୍ୱଗୁଡିକ ସ୍ୱାପ୍‌ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଫଳରେ ସମସ୍ତ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପଦଗୁଡିକ ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ରହିଥାନ୍ତି.

$$a^{2}+82a=2943$$

41 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, 82 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 41 ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$a^{2}+82a+41^{2}=2943+41^{2}$$

ବର୍ଗ 41.

$$a^{2}+82a+1681=2943+1681$$

2943 କୁ 1681 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a^{2}+82a+1681=4624$$

ଗୁଣନୀୟକ a^{2}+82a+1681. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(a+41\right)^{2}=4624$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(a+41\right)^{2}}=\sqrt{4624}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$a+41=68 a+41=-68$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 41 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$a=27 a=-109$$