(ax-by)+(a+4b)=0,2(bx+ay)+(b-4a)=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$( a x - b y ) + ( a + 4 b ) = 0,2 ( b x + a y ) + ( b - 4 a ) = 0$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\text{, }y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ or }a\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\text{ and }b=0\end{matrix}\right.$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ a ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$ax-by+4b=-a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$ax-by=-a-4b$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ bx+ay ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$2bx+2ay-4a=-b$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4a ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2bx+2ay=-b+4a$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ by ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$ax=by-a-4b$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ a ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{1}{a}\left(by-a-4b\right)$$

\frac{1}{a} କୁ by-a-4b ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 2bx+2ay=4a-b ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{-4b+by-a}{a} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$2b\left(\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1\right)+2ay=4a-b$$

2b କୁ \frac{-4b+by-a}{a} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{2b^{2}}{a}y-\frac{8b^{2}}{a}-2b+2ay=4a-b$$

\frac{2b^{2}y}{a} କୁ 2ay ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a}y-\frac{8b^{2}}{a}-2b=4a-b$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ -\frac{8b^{2}}{a}-2b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a}y=\frac{8b^{2}}{a}+b+4a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \frac{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}{a} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

x=\frac{b}{a}y-\frac{4b}{a}-1 ରେ y ପାଇଁ \frac{8b^{2}+ba+4a^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=\frac{b}{a}\times \frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{4b}{a}-1$$

\frac{b}{a} କୁ \frac{8b^{2}+ba+4a^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{b\left(4a^{2}+ab+8b^{2}\right)}{2a\left(a^{2}+b^{2}\right)}-\frac{4b}{a}-1$$

-1-\frac{4b}{a} କୁ \frac{b\left(8b^{2}+ba+4a^{2}\right)}{2a\left(a^{2}+b^{2}\right)} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ a ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$ax-by+4b=-a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$ax-by=-a-4b$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ bx+ay ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$2bx+2ay-4a=-b$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4a ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2bx+2ay=-b+4a$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&-b\\2b&2a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2a}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}&-\frac{-b}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}\\-\frac{2b}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}&\frac{a}{a\times 2a-\left(-b\right)\times 2b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}&\frac{b}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\\-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}&\frac{a}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-a-4b\\4a-b\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\left(-a-4b\right)+\frac{b}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\left(4a-b\right)\\\left(-\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\right)\left(-a-4b\right)+\frac{a}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\left(4a-b\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\\\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ a ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$ax-by+4b=-a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$ax-by=-a-4b$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 2 କୁ bx+ay ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2bx+2ay+b-4a=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$2bx+2ay-4a=-b$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 4a ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2bx+2ay=-b+4a$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$ax+\left(-b\right)y=-a-4b,2bx+2ay=4a-b$$

ax ଏବଂ 2bx କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ 2b ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2bax+2b\left(-b\right)y=2b\left(-a-4b\right),a\times 2bx+a\times 2ay=a\left(4a-b\right)$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$2abx+\left(-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right),2abx+2a^{2}y=a\left(4a-b\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 2abx+\left(-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right) ଠାରୁ 2abx+2a^{2}y=a\left(4a-b\right) କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2abx+\left(-2ab\right)x+\left(-2b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

2bax କୁ -2bax ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 2bax ଏବଂ -2bax ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-2b^{2}\right)y+\left(-2a^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

-2b^{2}y କୁ -2a^{2}y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(-2a^{2}-2b^{2}\right)y=-2b\left(a+4b\right)+ab-4a^{2}$$

-2b\left(a+4b\right) କୁ ab-4a^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(-2a^{2}-2b^{2}\right)y=-4a^{2}-ab-8b^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -2b^{2}-2a^{2} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

2bx+2ay=4a-b ରେ y ପାଇଁ \frac{8b^{2}+ab+4a^{2}}{2\left(b^{2}+a^{2}\right)} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$2bx+2a\times \frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}=4a-b$$

2a କୁ \frac{8b^{2}+ab+4a^{2}}{2\left(b^{2}+a^{2}\right)} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$2bx+\frac{a\left(4a^{2}+ab+8b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}}=4a-b$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ \frac{a\left(8b^{2}+ab+4a^{2}\right)}{b^{2}+a^{2}} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2bx=-\frac{b\left(2a^{2}+4ab+b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2b ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{2a^{2}+4ab+b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)},y=\frac{4a^{2}+ab+8b^{2}}{2\left(a^{2}+b^{2}\right)}$$