(-12-k)^2-4(4)(4)=0 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$( - 12 - k ) ^ { 2 } - 4 ( 4 ) ( 4 ) = 0$$

k ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$k=-20$$

$$k=-4$$

ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(-12-k\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

64 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 16 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

80 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 144 ଏବଂ 64 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$80+24k+k^{2}=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$k^{2}+24k+80=0$$

ସମୀକରଣକୁ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ସୂତ୍ର k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right) ବ୍ୟବହାର କରି k^{2}+24k+80 ର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=24 ab=80$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 80 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 24 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=4 b=20$$

ପ୍ରାପ୍ତ ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରି ଫ୍ୟାକ୍ଟରଯୁକ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \left(k+a\right)\left(k+b\right) ପୁନଃଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(k+4\right)\left(k+20\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, k+4=0 ଏବଂ k+20=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$k=-4 k=-20$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(-12-k\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

64 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 16 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

80 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 144 ଏବଂ 64 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$80+24k+k^{2}=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$k^{2}+24k+80=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ k^{2}+ak+bk+80 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=24 ab=1\times 80=80$$

ଯେହେତୁ ab ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, a ଏବଂ b ର ସମାନ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁa+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ 80 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 24 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=4 b=20$$

\left(k^{2}+4k\right)+\left(20k+80\right) ଭାବରେ k^{2}+24k+80 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(k^{2}+4k\right)+\left(20k+80\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ k ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 20 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$k\left(k+4\right)+20\left(k+4\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ k+4 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(k+4\right)\left(k+20\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, k+4=0 ଏବଂ k+20=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$k=-4 k=-20$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(-12-k\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

64 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 16 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

80 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 144 ଏବଂ 64 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$80+24k+k^{2}=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$k^{2}+24k+80=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 1, b ପାଇଁ 24, ଏବଂ c ପାଇଁ 80 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 80}}{2}$$

ବର୍ଗ 24.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 80}}{2}$$

-4 କୁ 80 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-320}}{2}$$

576 କୁ -320 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-24±\sqrt{256}}{2}$$

256 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$k=\frac{-24±16}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ k=\frac{-24±16}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -24 କୁ 16 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$k=-\frac{8}{2}$$

-8 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$k=-4$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ k=\frac{-24±16}{2} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -24 ରୁ 16 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$k=-\frac{40}{2}$$

-40 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$k=-20$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$k=-4 k=-20$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

\left(-12-k\right)^{2} କୁ ବିସ୍ତାର କରିବାକୁ ବାଇନୋମିଆଲ ଥିଓରମ \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

16 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 4 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

64 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 16 ଏବଂ 4 ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

80 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ 144 ଏବଂ 64 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$80+24k+k^{2}=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 80 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$24k+k^{2}=-80$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$k^{2}+24k=-80$$

12 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, 24 କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 12 ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$k^{2}+24k+12^{2}=-80+12^{2}$$

ବର୍ଗ 12.

$$k^{2}+24k+144=-80+144$$

-80 କୁ 144 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$k^{2}+24k+144=64$$

ଗୁଣନୀୟକ k^{2}+24k+144. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(k+12\right)^{2}=64$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(k+12\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$k+12=8 k+12=-8$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 12 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$k=-4 k=-20$$