{l}{text{(4)}(acosalpha,2acosalpha)}{text{f}y+b=m_{1}(x+a)text{and}y+b=m_{2}(x+a)text{are}}{text{wotangentstotheparabola}y^2=4ax,text{then}}{{llll}{text{(1)}m_{1}+m_{2}=0}&{text{(2)}m_{1}m_{2}=1}} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left. \begin{array} { l } { \text { (4) } ( a \cos \alpha , 2 a \cos \alpha ) } \\ { \text { f } y + b = m _ { 1 } ( x + a ) \text { and } y + b = m _ { 2 } ( x + a ) \text { are } } \\ { \text { wo tangents to the parabola } y ^ { 2 } = 4 a x , \text { then } } \\ { \left. \begin{array} { l l l l } { \text { (1) } m _ { 1 } + m _ { 2 } = 0 } & { \text { (2) } m _ { 1 } m _ { 2 } = 1 } \end{array} \right. } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ (ଜଟଳି ସମାଧାନ)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{1} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{1}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{2} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{2}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ y କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ m_{1}x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b ରେ y ସ୍ଥାନରେ m_{1}x+am_{1}-b ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

m_{1}x କୁ -m_{2}x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ am_{1}-b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ m_{1}-m_{2} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-a$$

y=m_{1}x+am_{1}-b ରେ x ପାଇଁ -a କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

m_{1} କୁ -a ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

am_{1}-b କୁ -m_{1}a ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=-b$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=-b,x=-a$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{1} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{1}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{2} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{2}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ y ଏବଂ x ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=-b,x=-a$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{1} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{1}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{2} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{2}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b ଠାରୁ y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

y କୁ -y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ y ଏବଂ -y ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

-m_{1}x କୁ m_{2}x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

am_{1}-b କୁ -m_{2}a+b ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -m_{1}+m_{2} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-a$$

y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b ରେ x ପାଇଁ -a କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

-m_{2} କୁ -a ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{2}a ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=-b$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=-b,x=-a$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{\begin{matrix}\\x=-a\text{, }y=-b\text{, }&\text{unconditionally}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=-b\text{, }&m_{2}=0\text{ and }m_{1}=0\\x=\frac{y-am_{2}+b}{m_{2}}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m_{2}\neq 0\text{ and }m_{1}=m_{2}\end{matrix}\right.$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{1} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{1}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{2} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{2}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ y କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ m_{1}x ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=m_{1}x+am_{1}-b$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b ରେ y ସ୍ଥାନରେ m_{1}x+am_{1}-b ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$m_{1}x+am_{1}-b+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

m_{1}x କୁ -m_{2}x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x+am_{1}-b=am_{2}-b$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ am_{1}-b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\left(m_{1}-m_{2}\right)x=a\left(m_{2}-m_{1}\right)$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ m_{1}-m_{2} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-a$$

y=m_{1}x+am_{1}-b ରେ x ପାଇଁ -a କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y=m_{1}\left(-a\right)+am_{1}-b$$

m_{1} କୁ -a ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-am_{1}+am_{1}-b$$

am_{1}-b କୁ -m_{1}a ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=-b$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=-b,x=-a$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{1} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{1}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{2} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{2}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-m_{1}\\1&-m_{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&-\frac{-m_{1}}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\\-\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}&\frac{1}{-m_{2}-\left(-m_{1}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}&\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\\-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}&\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}am_{1}-b\\am_{2}-b\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\left(-\frac{m_{2}}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{m_{1}}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\\\left(-\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\right)\left(am_{1}-b\right)+\frac{1}{m_{1}-m_{2}}\left(am_{2}-b\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-b\\-a\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ y ଏବଂ x ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=-b,x=-a$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{1} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{1}x+m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{1}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{1}x=m_{1}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{1}x=m_{1}a-b$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. m_{2} କୁ x+a ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y+b=m_{2}x+m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{2}x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y+b-m_{2}x=m_{2}a$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-m_{2}x=m_{2}a-b$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b,y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା y+\left(-m_{1}\right)x=am_{1}-b ଠାରୁ y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y-y+\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

y କୁ -y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ y ଏବଂ -y ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-m_{1}\right)x+m_{2}x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

-m_{1}x କୁ m_{2}x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=am_{1}-b+b-am_{2}$$

am_{1}-b କୁ -m_{2}a+b ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(m_{2}-m_{1}\right)x=a\left(m_{1}-m_{2}\right)$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -m_{1}+m_{2} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-a$$

y+\left(-m_{2}\right)x=am_{2}-b ରେ x ପାଇଁ -a କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y+\left(-m_{2}\right)\left(-a\right)=am_{2}-b$$

-m_{2} କୁ -a ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y+am_{2}=am_{2}-b$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ m_{2}a ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=-b$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=-b,x=-a$$