\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { 2 } { 3 } y = 2 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 3 } y = - 2 } \end{array} \right.
x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ
x=-1
y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5
ଗ୍ରାଫ୍
ଅଂଶୀଦାର
କ୍ଲିପ୍ ବୋର୍ଡ଼ରେ ନକଲ କରାଯାଇଛି
x-\frac{2}{3}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.
x-\frac{2}{3}y=2
ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.
x=\frac{2}{3}y+2
ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{2y}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ.
\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}y+2\right)+\frac{1}{3}y=-2
ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{2y}{3}+2 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.
\frac{1}{3}y+1+\frac{1}{3}y=-2
\frac{1}{2} କୁ \frac{2y}{3}+2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.
\frac{2}{3}y+1=-2
\frac{y}{3} କୁ \frac{y}{3} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.
\frac{2}{3}y=-3
ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 1 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.
y=-\frac{9}{2}
ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ \frac{2}{3} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.
x=\frac{2}{3}\left(-\frac{9}{2}\right)+2
x=\frac{2}{3}y+2 ରେ y ପାଇଁ -\frac{9}{2} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.
x=-3+2
ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{2}{3} କୁ -\frac{9}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.
x=-1
2 କୁ -3 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.
x=-1,y=-\frac{9}{2}
ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.
x-\frac{2}{3}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.
\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.
inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରିକ୍ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{\frac{1}{3}-\left(-\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&1\\-\frac{3}{4}&\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)
ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-2\\-\frac{3}{4}\times 2+\frac{3}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)
ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-\frac{9}{2}\end{matrix}\right)
ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.
x=-1,y=-\frac{9}{2}
ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.
x-\frac{2}{3}y=2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
ଭାରିଏବୁଲ୍ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{3}\right)y=\frac{1}{2}\times 2,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
x ଏବଂ \frac{x}{2} କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ \frac{1}{2} ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍କୁ 1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.
\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1,\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2
ସରଳୀକୃତ କରିବା.
\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}y=1+2
ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 ଠାରୁ \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.
-\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}y=1+2
\frac{x}{2} କୁ -\frac{x}{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ \frac{x}{2} ଏବଂ -\frac{x}{2} ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.
-\frac{2}{3}y=1+2
-\frac{y}{3} କୁ -\frac{y}{3} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.
-\frac{2}{3}y=3
1 କୁ 2 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.
y=-\frac{9}{2}
ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -\frac{2}{3} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\left(-\frac{9}{2}\right)=-2
\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=-2 ରେ y ପାଇଁ -\frac{9}{2} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.
\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}=-2
ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{1}{3} କୁ -\frac{9}{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.
\frac{1}{2}x=-\frac{1}{2}
ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{3}{2} ଯୋଡନ୍ତୁ.
x=-1
ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.
x=-1,y=-\frac{9}{2}
ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.
ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ
ଚତୁଷ୍ପଦୀ ସମୀକରଣ
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
ତ୍ରିକୋଣମିତି
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
ରୈଖିକ ସମୀକରଣ
y = 3x + 4
ବୀଜଗଣିତ
699 * 533
ମାଟ୍ରିକ୍ସ୍
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
ସମକାଳୀନ ସମୀକରଣ
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
ବିଭେଦୀକରଣ
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
ଇଣ୍ଟିଗ୍ରେସନ୍
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
ସୀମାଗୁଡ଼ିକ
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}