{l}{x^2+y^2=4}{x+y=a} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = a } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ (ଜଟଳି ସମାଧାନ)

$$x=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

ପ୍ରତିବଦଳ ଏବଂ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x ଅଲଗା କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ x+y=a ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x+y=a$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-y+a$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, y^{2}+x^{2}=4 ରେ x ସ୍ଥାନରେ -y+a ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=4$$

ବର୍ଗ -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

y^{2} କୁ y^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-4=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 1+1\left(-1\right)^{2}, b ପାଇଁ 1\left(-1\right)\times 2a, ଏବଂ c ପାଇଁ -4+a^{2} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

ବର୍ଗ 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

-4 କୁ 1+1\left(-1\right)^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

-8 କୁ -4+a^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+32-8a^{2}}}{2\times 2}$$

4a^{2} କୁ 32-8a^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{32-4a^{2}}}{2\times 2}$$

32-4a^{2} ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{8-a^{2}}}{2\times 2}$$

2 କୁ 1+1\left(-1\right)^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 2a କୁ 2\sqrt{8-a^{2}} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

2a+2\sqrt{8-a^{2}} କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 2a ରୁ 2\sqrt{8-a^{2}} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

2a-2\sqrt{8-a^{2}} କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

y ପାଇଁ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ରହିଛି: \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} ଏବଂ \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2}. ସମୀକରଣ x=-y+a ରେ y ସ୍ଥାନରେ \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=-y+a ରେ \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2} ସ୍ଥାନରେ y ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

$$x=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{, }|a|\leq 2\sqrt{2}$$

ପ୍ରତିବଦଳ ଏବଂ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x+y=a,y^{2}+x^{2}=4$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x ଅଲଗା କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ x+y=a ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x+y=a$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-y+a$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, y^{2}+x^{2}=4 ରେ x ସ୍ଥାନରେ -y+a ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y^{2}+\left(-y+a\right)^{2}=4$$

ବର୍ଗ -y+a.

$$y^{2}+y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

y^{2} କୁ y^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}=4$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2y^{2}+\left(-2a\right)y+a^{2}-4=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 1+1\left(-1\right)^{2}, b ପାଇଁ 1\left(-1\right)\times 2a, ଏବଂ c ପାଇଁ -4+a^{2} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{\left(-2a\right)^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

ବର୍ଗ 1\left(-1\right)\times 2a.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-4\times 2\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

-4 କୁ 1+1\left(-1\right)^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}-8\left(a^{2}-4\right)}}{2\times 2}$$

-8 କୁ -4+a^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{4a^{2}+32-8a^{2}}}{2\times 2}$$

4a^{2} କୁ 32-8a^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±\sqrt{32-4a^{2}}}{2\times 2}$$

32-4a^{2} ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\left(-2a\right)±2\sqrt{8-a^{2}}}{2\times 2}$$

2 କୁ 1+1\left(-1\right)^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 2a କୁ 2\sqrt{8-a^{2}} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=\frac{2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

2a+2\sqrt{8-a^{2}} କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=\frac{2a±2\sqrt{8-a^{2}}}{4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. 2a ରୁ 2\sqrt{8-a^{2}} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-2\sqrt{8-a^{2}}+2a}{4}$$

2a-2\sqrt{8-a^{2}} କୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$

y ପାଇଁ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ରହିଛି: \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} ଏବଂ \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2}. ସମୀକରଣ x=-y+a ରେ y ସ୍ଥାନରେ \frac{a+\sqrt{8-a^{2}}}{2} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=-y+a ରେ \frac{a-\sqrt{8-a^{2}}}{2} ସ୍ଥାନରେ y ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ x ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}\text{ or }x=-\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}+a,y=\frac{-\sqrt{8-a^{2}}+a}{2}$$