{l}{4a-3b=2}{5a^2-3b^2=17} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 a - 3 b = 2 } \\ { 5 a ^ { 2 } - 3 b ^ { 2 } = 17 } \end{array} \right.$$

a, b ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$a=11\text{, }b=14$$

$$a=5\text{, }b=6$$

ପ୍ରତିବଦଳ ଏବଂ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$4a-3b=2,-3b^{2}+5a^{2}=17$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ a ଅଲଗା କରିବା ଦ୍ୱାରା a ପାଇଁ 4a-3b=2 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$4a-3b=2$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ -3b ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$4a=3b+2$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{3}{4}b+\frac{1}{2}$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -3b^{2}+5a^{2}=17 ରେ a ସ୍ଥାନରେ \frac{3}{4}b+\frac{1}{2} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-3b^{2}+5\left(\frac{3}{4}b+\frac{1}{2}\right)^{2}=17$$

ବର୍ଗ \frac{3}{4}b+\frac{1}{2}.

$$-3b^{2}+5\left(\frac{9}{16}b^{2}+\frac{3}{4}b+\frac{1}{4}\right)=17$$

5 କୁ \frac{9}{16}b^{2}+\frac{3}{4}b+\frac{1}{4} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-3b^{2}+\frac{45}{16}b^{2}+\frac{15}{4}b+\frac{5}{4}=17$$

-3b^{2} କୁ \frac{45}{16}b^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-\frac{3}{16}b^{2}+\frac{15}{4}b+\frac{5}{4}=17$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 17 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-\frac{3}{16}b^{2}+\frac{15}{4}b-\frac{63}{4}=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -3+5\times \left(\frac{3}{4}\right)^{2}, b ପାଇଁ 5\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times 2, ଏବଂ c ପାଇଁ -\frac{63}{4} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\sqrt{\left(\frac{15}{4}\right)^{2}-4\left(-\frac{3}{16}\right)\left(-\frac{63}{4}\right)}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

ବର୍ଗ 5\times \frac{1}{2}\times \frac{3}{4}\times 2.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\sqrt{\frac{225}{16}-4\left(-\frac{3}{16}\right)\left(-\frac{63}{4}\right)}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

-4 କୁ -3+5\times \left(\frac{3}{4}\right)^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\sqrt{\frac{225}{16}+\frac{3}{4}\left(-\frac{63}{4}\right)}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

ଲବ ଯେତେ ଥର ରହିଛି ଲବ ସହିତ ଏବଂ ହର ଯେତେ ଥର ରହିଛି ହର ସହିତ ଗୁଣନ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{3}{4} କୁ -\frac{63}{4} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\sqrt{\frac{225-189}{16}}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{189}{16} ସହିତ \frac{225}{16} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\sqrt{\frac{9}{4}}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

\frac{9}{4} ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\frac{3}{2}}{2\left(-\frac{3}{16}\right)}$$

2 କୁ -3+5\times \left(\frac{3}{4}\right)^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$b=\frac{-\frac{15}{4}±\frac{3}{2}}{-\frac{3}{8}}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ b=\frac{-\frac{15}{4}±\frac{3}{2}}{-\frac{3}{8}} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା \frac{3}{2} ସହିତ -\frac{15}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$b=-\frac{\frac{9}{4}}{-\frac{3}{8}}$$

-\frac{3}{8} ର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା -\frac{9}{4} କୁ ଗୁଣନ କରି -\frac{9}{4} କୁ -\frac{3}{8} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$b=6$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ b=\frac{-\frac{15}{4}±\frac{3}{2}}{-\frac{3}{8}} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{15}{4} ରୁ \frac{3}{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$b=-\frac{\frac{21}{4}}{-\frac{3}{8}}$$

-\frac{3}{8} ର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା -\frac{21}{4} କୁ ଗୁଣନ କରି -\frac{21}{4} କୁ -\frac{3}{8} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$b=14$$

b ପାଇଁ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ରହିଛି: 6 ଏବଂ 14. ସମୀକରଣ a=\frac{3}{4}b+\frac{1}{2} ରେ b ସ୍ଥାନରେ 6 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ a ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$a=\frac{3}{4}\times 6+\frac{1}{2}$$

\frac{3}{4} କୁ 6 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{9+1}{2}$$

\frac{3}{4}\times 6 କୁ \frac{1}{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a=5$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ a=\frac{3}{4}b+\frac{1}{2} ରେ 14 ସ୍ଥାନରେ b ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ a ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$a=\frac{3}{4}\times 14+\frac{1}{2}$$

\frac{3}{4} କୁ 14 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$a=\frac{21+1}{2}$$

\frac{3}{4}\times 14 କୁ \frac{1}{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$a=11$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$a=5,b=6\text{ or }a=11,b=14$$