{l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

ପ୍ରତିବଦଳ ଏବଂ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 12 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, 4,3 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. k କୁ x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=kx+k$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 3x^{2}+4y^{2}=12 ରେ y ସ୍ଥାନରେ kx+k ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

ବର୍ଗ kx+k.

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

4 କୁ k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

3x^{2} କୁ 4k^{2}x^{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 12 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ 3+4k^{2}, b ପାଇଁ 4\times 2kk, ଏବଂ c ପାଇଁ 4k^{2}-12 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

ବର୍ଗ 4\times 2kk.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-4 କୁ 3+4k^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

-12-16k^{2} କୁ 4k^{2}-12 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

64k^{4} କୁ 144+144k^{2}-64k^{4} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

144k^{2}+144 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

2 କୁ 3+4k^{2} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -8k^{2} କୁ 12\sqrt{k^{2}+1} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} କୁ 6+8k^{2} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -8k^{2} ରୁ 12\sqrt{k^{2}+1} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} କୁ 6+8k^{2} ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x ପାଇଁ ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ରହିଛି: \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} ଏବଂ -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}. ସମୀକରଣ y=kx+k ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ y ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

k କୁ \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ y=kx+k ରେ -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} ସ୍ଥାନରେ x ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ ଏବଂ y ପାଇଁ ଅନୁରୂପ ସମାଧାନ ଖୋଜି ପାଇବା ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉଭୟ ସମୀକରଣକୁ ପ୍ରମାଣିତ କରିଥାଏ.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

k କୁ -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ (ଜଟଳି ସମାଧାନ)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$