{l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଭାରିଏବୁଲ୍‌ y ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -5,0 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ y\left(y+5\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, y+5,y ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 କୁ x+7 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ yx ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 ପାଇବାକୁ yx ଏବଂ -yx ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2y=7y+5x+35$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 7y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y ପାଇବାକୁ 2y ଏବଂ -7y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-5y=5x+35$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -5 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

-\frac{1}{5} କୁ 35+5x ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-x-7$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, -4y+2x=-1 ରେ y ସ୍ଥାନରେ -x-7 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

-4 କୁ -x-7 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$4x+28+2x=-1$$

4x କୁ 2x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$6x+28=-1$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 28 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$6x=-29$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 6 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{29}{6}$$

y=-x-7 ରେ x ପାଇଁ -\frac{29}{6} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

-1 କୁ -\frac{29}{6} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

-7 କୁ \frac{29}{6} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{13}{6}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଭାରିଏବୁଲ୍‌ y ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -5,0 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ y\left(y+5\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, y+5,y ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 କୁ x+7 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ yx ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 ପାଇବାକୁ yx ଏବଂ -yx ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2y=7y+5x+35$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 7y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y ପାଇବାକୁ 2y ଏବଂ -7y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-5y=5x+35$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 5x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-5y-5x=35$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ y ଏବଂ x ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. ଭାରିଏବୁଲ୍‌ y ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ -5,0 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ y\left(y+5\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, y+5,y ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y କୁ x+2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

y+5 କୁ x+7 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ yx ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

0 ପାଇବାକୁ yx ଏବଂ -yx ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$2y=7y+5x+35$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 7y ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2y-7y=5x+35$$

-5y ପାଇବାକୁ 2y ଏବଂ -7y ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$-5y=5x+35$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 5x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$-5y-5x=35$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

-5y ଏବଂ -4y କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ -4 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ -5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 20y+20x=-140 ଠାରୁ 20y-10x=5 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

20y କୁ -20y ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ 20y ଏବଂ -20y ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$20x+10x=-140-5$$

20x କୁ 10x ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$30x=-140-5$$

-140 କୁ -5 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$30x=-145$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 30 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{29}{6}$$

-4y+2x=-1 ରେ x ପାଇଁ -\frac{29}{6} କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ y ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

2 କୁ -\frac{29}{6} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{29}{3} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$y=-\frac{13}{6}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$