{c}{0.4(3x+1)-0.2(2x+y)=-0.4}{3(0.4x-0.5)+5(0.3y-1.1)=-2.8} କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\left\{ \begin{array} { c } { 0.4 ( 3 x + 1 ) - 0.2 ( 2 x + y ) = - 0.4 } \\ { 3 ( 0.4 x - 0.5 ) + 5 ( 0.3 y - 1.1 ) = - 2.8 } \end{array} \right.$$

x, y ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x=-0.25$$

$$y=3$$

ପ୍ରତିବଦଳ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 0.4 କୁ 3x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

-0.2 କୁ 2x+y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

0.8x ପାଇବାକୁ 1.2x ଏବଂ -0.4x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 0.4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

-0.8 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -0.4 ଏବଂ 0.4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 3 କୁ 0.4x-0.5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

5 କୁ 0.3y-1.1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

-7 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1.5 ଏବଂ 5.5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 7 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

4.2 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -2.8 ଏବଂ 7 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$1.2x+1.5y=4.2$$

ସ୍ଥାନାପନ୍ନ ବା ସବଷ୍ଟିଚ୍ୟୁସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରି ଏକ ଯୋଡା ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ପ୍ରଥମେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ପାଇଁ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସେହି ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପାଇଁ ଫଳାଫଳକୁ ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣରେ ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ମନୋନୟନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ x କୁ ପୃଥକ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{y}{5} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$0.8x=0.2y-0.8$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 0.8 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$x=1.25\left(0.2y-0.8\right)$$

1.25 କୁ \frac{y-4}{5} ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=0.25y-1$$

ଅନ୍ୟ ସମୀକରଣ, 1.2x+1.5y=4.2 ରେ x ସ୍ଥାନରେ \frac{y}{4}-1 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$1.2\left(0.25y-1\right)+1.5y=4.2$$

1.2 କୁ \frac{y}{4}-1 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$0.3y-1.2+1.5y=4.2$$

\frac{3y}{10} କୁ \frac{3y}{2} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$1.8y-1.2=4.2$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ 1.2 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$1.8y=5.4$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 1.8 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$y=3$$

x=0.25y-1 ରେ y ପାଇଁ 3 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$x=0.25\times 3-1$$

0.25 କୁ 3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=0.75-1$$

-1 କୁ 0.75 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=-0.25$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-0.25,y=3$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 0.4 କୁ 3x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

-0.2 କୁ 2x+y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

0.8x ପାଇବାକୁ 1.2x ଏବଂ -0.4x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 0.4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

-0.8 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -0.4 ଏବଂ 0.4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 3 କୁ 0.4x-0.5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

5 କୁ 0.3y-1.1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

-7 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1.5 ଏବଂ 5.5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 7 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

4.2 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -2.8 ଏବଂ 7 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$1.2x+1.5y=4.2$$

ସମୀକରଣଗୁଡିକୁ ମାନାଙ୍କ ରୂପରେ ରଖନ୍ତୁ ଏବଂ ତାପରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ପଦ୍ଧତିରେ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right) ର ଇନବକ୍ସ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ସମୀକରଣକୁ ବାମରେ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସର ଉତ୍ପାଦ ଏବଂ ଏହାର ଇନଭର୍ସ୍‌ ହେଉଛି ପରିଚାୟକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ମେଟ୍ରି‌କ୍‌ଗୁଡିକୁ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.8&-0.2\\1.2&1.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)ପାଇଁ, ଓଲଟା ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ହେଉଛି \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ତେଣୁ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ସମୀକରଣକୁ ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଗୁଣନ ସମସ୍ୟା ଭାବରେ ପୁନଃଲିଖିତ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1.5}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}&-\frac{-0.2}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}\\-\frac{1.2}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}&\frac{0.8}{0.8\times 1.5-\left(-0.2\times 1.2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}&\frac{5}{36}\\-\frac{5}{6}&\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.8\\4.2\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସଗୁଡିକ ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{24}\left(-0.8\right)+\frac{5}{36}\times 4.2\\-\frac{5}{6}\left(-0.8\right)+\frac{5}{9}\times 4.2\end{matrix}\right)$$

ପାଟୀଗଣିତ କରନ୍ତୁ.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.25\\3\end{matrix}\right)$$

ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଉପାଦାନଗୁଡିକ x ଏବଂ y ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=-0.25,y=3$$

ଏଲିମିନେସନ୍‌ ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 0.4 କୁ 3x+1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x+0.4-0.2\left(2x+y\right)=-0.4$$

-0.2 କୁ 2x+y ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x+0.4-0.4x-0.2y=-0.4$$

0.8x ପାଇବାକୁ 1.2x ଏବଂ -0.4x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x+0.4-0.2y=-0.4$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 0.4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x-0.2y=-0.4-0.4$$

-0.8 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -0.4 ଏବଂ 0.4 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$0.8x-0.2y=-0.8$$

ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ବିବେଚନା କରନ୍ତୁ. 3 କୁ 0.4x-0.5 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x-1.5+5\left(0.3y-1.1\right)=-2.8$$

5 କୁ 0.3y-1.1 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$1.2x-1.5+1.5y-5.5=-2.8$$

-7 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -1.5 ଏବଂ 5.5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$1.2x-7+1.5y=-2.8$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ଵକୁ 7 ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$1.2x+1.5y=-2.8+7$$

4.2 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -2.8 ଏବଂ 7 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$1.2x+1.5y=4.2$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏର ଏଲିମିନେସନ୍‌ ଏବଂ ଗୁଣାଙ୍କ ବା କୋଏଫିସିଏଣ୍ଟ ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରିବା ପାଇଁ ଉଭୟ ସମୀକରଣରେ ସମାନ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ଯାହା ଫଳରେ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ପ୍ରତ୍ୟାହାର ହେବ ଯେତେବେଳେ ଗୋଟିଏ ସମୀକରଣ ଅନ୍ୟଟି ଠାରୁ ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$0.8x-0.2y=-0.8,1.2x+1.5y=4.2$$

\frac{4x}{5} ଏବଂ \frac{6x}{5} କୁ ସମାନ କରିବା ପାଇଁ, ପ୍ରଥମ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ପଦକୁ 1.2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ସମୀକରଣ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ସମସ୍ତ ଟର୍ମ୍‌କୁ 0.8 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$1.2\times 0.8x+1.2\left(-0.2\right)y=1.2\left(-0.8\right),0.8\times 1.2x+0.8\times 1.5y=0.8\times 4.2$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$0.96x-0.24y=-0.96,0.96x+1.2y=3.36$$

ସମାନ ଚିହ୍ନର ପ୍ରତ୍ୟେକ ପାର୍ଶ୍ୱରେ ଥିବା ଏକାପରି ପଦଗୁଡିକୁ ବିୟୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା 0.96x-0.24y=-0.96 ଠାରୁ 0.96x+1.2y=3.36 କୁ ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$0.96x-0.96x-0.24y-1.2y=\frac{-24-84}{25}$$

\frac{24x}{25} କୁ -\frac{24x}{25} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ. କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଯାହା ସମାଧାନ ହୋଇପାରିବ ତାହା ଥିବା ଏକ ସମୀକରଣ ଛାଡି, ପଦ \frac{24x}{25} ଏବଂ -\frac{24x}{25} ପ୍ରତ୍ୟାହାର କରନ୍ତୁ.

$$-0.24y-1.2y=\frac{-24-84}{25}$$

-\frac{6y}{25} କୁ -\frac{6y}{5} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$-1.44y=\frac{-24-84}{25}$$

ଏକ ସାଧାରଣ ହର ବାହାର କରିବା ସହିତ ଲବଗୁଡିକ ଯୋଗ କରିବା ଦ୍ୱାରା -3.36 ସହିତ -0.96 ଯୋଡନ୍ତୁ. ତାପରେ ଭଗ୍ନାଂଶକୁ ସର୍ବନିମ୍ନ ପଦକୁ ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ ଯଦି ସମ୍ଭବ ହୁଏ.

$$-1.44y=-4.32$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -1.44 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$y=3$$

1.2x+1.5y=4.2 ରେ y ପାଇଁ 3 କୁ ବଦଳ କରନ୍ତୁ. କାରଣ ପରିଣାମାତ୍ମକ ସମୀକରଣ କେବଳ ଗୋଟିଏ ଭାରିଏବୁଲ୍‌ ଧାରଣ କରିଥାଏ, ଆପଣ x ପାଇଁ ସିଧାସଳଖ ଭାବରେ ସମାଧାନ କରିପାରିବେ.

$$1.2x+1.5\times 3=4.2$$

1.5 କୁ 3 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$1.2x+4.5=4.2$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 4.5 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$1.2x=-0.3$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ 1.2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ, ଯାହାକି ଭଗ୍ନାଂଶର ରେସିପ୍ରୋକାଲ୍‌ ଦ୍ୱାରା ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଗୁଣନ କରିବା ପରି ସମାନ ହୋଇଥାଏ.

$$x=-0.25$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-0.25,y=3$$