2/x+10/x^2-2x=1+2x/x-2 କୁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 10 } { x ^ { 2 } - 2 x } = \frac { 1 + 2 x } { x - 2 }$$

x ପାଇଁ ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତକରଣ ଦ୍ୱାରା ଫ୍ୟାକ୍ଟରିଂ ବ୍ୟବହାର କରି ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ 0,2 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x\left(x-2\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x,x^{2}-2x,x-2 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(x-2\right)\times 2+10=x\left(1+2x\right)$$

x-2 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x-4+10=x\left(1+2x\right)$$

6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -4 ଏବଂ 10 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+6=x\left(1+2x\right)$$

x କୁ 1+2x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x+6=x+2x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+6-x=2x^{2}$$

x ପାଇବାକୁ 2x ଏବଂ -x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x+6=2x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x+6-2x^{2}=0$$

ଏହାକୁ ଏକ ମାନାଙ୍କ ରୂପେରେ ରଖିବା ପାଇଁ ପଲିନୋମିଆଲକୁ ପୁନଃବ୍ୟବସ୍ଥିତ କରନ୍ତୁ. ବଡରୁ ସାନ ପାୱାର୍‌ କ୍ରମରେ ପଦଗୁଡିକୁ ରଖନ୍ତୁ.

$$-2x^{2}+x+6=0$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନ କରିବାକୁ, ଗୋଷ୍ଠୀଭୁକ୍ତ କରଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱର ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍‌ ବାହାର କରନ୍ତୁ. ପ୍ରଥମେ, ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱ -2x^{2}+ax+bx+6 ଭାବେ ପୁନଃ ଲେଖାଯିବା ଆବଶ୍ୟକ. a ଏବଂ b ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, ସମାଧାନ କରିବାକୁ ଏକ ସିଷ୍ଟମ୍‌ ସେଟ୍‌ ଅପ୍‌ କରନ୍ତୁ.

$$a+b=1 ab=-2\times 6=-12$$

ଯେହେତୁ ab ଋଣାତ୍ମକ ଅଟେ, ଉଭୟ a ଏବଂ b ର ବିପରୀତ ଚିହ୍ନ ରହିଥାଏ. ଯେହେତୁ a+b ଧନାତ୍ମକ ଅଟେ, ଧନାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଋଣାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଠାରୁ ବଡ ଆବସଲ୍ୟୁଟ୍‌ ମୂଲ୍ୟ ରହିଥାଏ. ଏହିଭଳି ସମସ୍ତ ଇଣ୍ଟିଜର୍ ଯୋଡାର ତାଲିକା ପ୍ରସ୍ତୁତ କରନ୍ତୁ ଯାହା ଉତ୍ପାଦ -12 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

ପ୍ରତି ଯୋଡା ପାଇଁ ସମଷ୍ଟି ହିସାବ କରନ୍ତୁ.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

ସମାଧାନଟି ହେଉଛି ସେହି ଯୋଡା ଯାହା ସମଷ୍ଟି 1 ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ.

$$a=4 b=-3$$

\left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-3x+6\right) ଭାବରେ -2x^{2}+x+6 ପୁନଃ ଲେଖନ୍ତୁ.

$$\left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-3x+6\right)$$

ପ୍ରଥମଟିରେ 2x ଏବଂ ଦ୍ୱିତୀୟ ଗୋଷ୍ଠୀରେ 3 ର ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

ଡିଷ୍ଟ୍ରିବ୍ୟୁଟିଭ୍ ପ୍ରପର୍ଟି (ବିତରଣ ବୈଶିଷ୍ଟ୍ୟ) ବ୍ୟବହାର କରି ସାଧାରଣ ପଦ -x+2 ଗୁଣନିୟକ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$\left(-x+2\right)\left(2x+3\right)$$

ସମୀକରଣ ସମାଧାନଗୁଡିକ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାକୁ, -x+2=0 ଏବଂ 2x+3=0 ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ.

$$x=2 x=-\frac{3}{2}$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 2 ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ.

$$x=-\frac{3}{2}$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ବ୍ୟବହାର କରିବା ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ 0,2 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x\left(x-2\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x,x^{2}-2x,x-2 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(x-2\right)\times 2+10=x\left(1+2x\right)$$

x-2 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x-4+10=x\left(1+2x\right)$$

6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -4 ଏବଂ 10 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+6=x\left(1+2x\right)$$

x କୁ 1+2x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x+6=x+2x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+6-x=2x^{2}$$

x ପାଇବାକୁ 2x ଏବଂ -x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x+6=2x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x+6-2x^{2}=0$$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀର ax^{2}+bx+c=0 ସମସ୍ତ ସମୀକରଣଗୁଡିକ କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ବ୍ୟବହାର କରି ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ର ଦୁଇଟି ସମାଧାନ ପ୍ରଦାନ କରିଥାଏ, ଗୋଟିଏ ଯେତେବେଳେ ± ଯୋଗ ହୋଇଥାଏ ଏବଂ ଅନ୍ୟଟି ଯେତେବେଳେ ଏହା ବିୟୋଗ ହୋଇଥାଏ.

$$-2x^{2}+x+6=0$$

ଏହି ସମୀକରଣ ମାନାଙ୍କ ଆକାରରେ ରହିଛି: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସୂତ୍ରରେ, a ପାଇଁ -2, b ପାଇଁ 1, ଏବଂ c ପାଇଁ 6 ପ୍ରତିବଦଳ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

ବର୍ଗ 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

-4 କୁ -2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8\times 6}}{2\left(-2\right)}$$

8 କୁ 6 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+48}}{2\left(-2\right)}$$

1 କୁ 48 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-1±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

49 ର ବର୍ଗମୂଳ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-1±7}{2\left(-2\right)}$$

2 କୁ -2 ଥର ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ.

$$x=\frac{-1±7}{-4}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-1±7}{-4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -1 କୁ 7 ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=\frac{6}{-4}$$

2 ବାହାର କରିବା ଏବଂ ବାତିଲ୍‌ କରିବା ଦ୍ୱାରା ନିମ୍ନତମ ପଦରେ ଅନ୍ତରାଳ \frac{6}{-4} ହ୍ରାସ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{3}{2}$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ x=\frac{-1±7}{-4} ସମାଧାନ କରନ୍ତୁ ଯେତେବେଳେ ± ବିଯୁକ୍ତ ଅଟେ. -1 ରୁ 7 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x=-\frac{8}{-4}$$

-8 କୁ -4 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x=2$$

ବର୍ତ୍ତମାନ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ହୋଇଛି.

$$x=-\frac{3}{2} x=2$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 2 ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ.

$$x=-\frac{3}{2}$$

ବର୍ଗ ବାହାର କରିବାର ପଦକ୍ଷେପଗୁଡିକ

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x ମୂଲ୍ୟଗୁଡିକ 0,2 ମଧ୍ୟରୁ କୌଣସିଟି ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯେହେତୁ ଶୂନ୍ୟ ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ ନିର୍ଦ୍ଧାରିତ ହୋଇନାହିଁ. ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ x\left(x-2\right) ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରନ୍ତୁ, x,x^{2}-2x,x-2 ର ଲଘିଷ୍ଠ ସାଧାରଣ ଗୁଣିତକ.

$$\left(x-2\right)\times 2+10=x\left(1+2x\right)$$

x-2 କୁ 2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x-4+10=x\left(1+2x\right)$$

6 ପ୍ରାପ୍ତ କରିବାକୁ -4 ଏବଂ 10 ଯୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+6=x\left(1+2x\right)$$

x କୁ 1+2x ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନ କରିବା ପାଇଁ ବିତରଣାତ୍ମକ ଗୁଣଧର୍ମ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତୁ.

$$2x+6=x+2x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ x ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$2x+6-x=2x^{2}$$

x ପାଇବାକୁ 2x ଏବଂ -x ସମ୍ମେଳନ କରନ୍ତୁ.

$$x+6=2x^{2}$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 2x^{2} ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ.

$$x+6-2x^{2}=0$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରୁ 6 ବିୟୋଗ କରନ୍ତୁ. ଶୂନ୍ୟରୁ ଯେକୌଣସି ସଂଖ୍ୟା ବିୟୋଗ କଲେ ସେହି ସଂଖ୍ୟାର ବିଯୁକ୍ତାତ୍ମକ ରୂପ ମିଳିଥାଏ.

$$x-2x^{2}=-6$$

କ୍ୱାଡ୍ରାଟିକ୍‌ ସମୀକରଣଗୁଡିକ ଯେପରିକି ଏହି ଗୋଟିଏ ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ଦ୍ୱାରା ସମାଧାନ କରାଯାଇପାରିବ. ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ କରିବା ପାଇଁ, ସମୀକରଣ ପ୍ରଥମେ x^{2}+bx=c ପ୍ରକାରେ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ.

$$-2x^{2}+x=-6$$

ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=-\frac{6}{-2}$$

-2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରିବା -2 ଦ୍ୱାରା ଗୁଣନକୁ ପୂର୍ବବତ୍‌ କରିଥାଏ.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=-\frac{6}{-2}$$

1 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{6}{-2}$$

-6 କୁ -2 ଦ୍ୱାରା ବିଭାଜନ କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=3$$

-\frac{1}{4} ପ୍ରାପ୍ତ କରିବା ପାଇଁ, x ଟର୍ମ୍‌‌ର ଗୁଣାଙ୍କ, -\frac{1}{2} କୁ, 2 ଦ୍ୱାରା ବିଭକ୍ତ କରନ୍ତୁ. ତାପରେ ସମୀକରଣ ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ -\frac{1}{4} ର ବର୍ଗ ଯୋଡନ୍ତୁ. ଏହି ପଦକ୍ଷେପ ସମୀକରଣର ବାମ ହାତ ପାର୍ଶ୍ୱକୁ ଏକ ଯଥାର୍ଥ ବର୍ଗରେ ପରିଣତ କରିଥାଏ.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

ଭଗ୍ନାଂଶର ଉଭୟ ଲବ ଓ ହରର ବର୍ଗ ବାହାର କରିବା ଦ୍ୱାରା -\frac{1}{4} ବର୍ଗ ବାହାର କରନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=3+\frac{1}{16}$$

3 କୁ \frac{1}{16} ସହ ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{16}$$

ଗୁଣନୀୟକ x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. ସାଧାରଣତଃ, ଯେତେବେଳେ x^{2}+bx+c ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ବର୍ଗ ଅଟେ, ଏହାକୁ ସର୍ବଦା \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ଭାବେ ଗୁଣନୀୟକ କରାଯାଇପାରିବ.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱର ବର୍ଗମୂଳ ନିଅନ୍ତୁ.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

ସରଳୀକୃତ କରିବା.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

ସମୀକରଣର ଉଭୟ ପାର୍ଶ୍ୱରେ \frac{1}{4} ଯୋଡନ୍ତୁ.

$$x=2 x=-\frac{3}{2}$$

ଭାରିଏବୁଲ୍‌ x 2 ସହିତ ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ.

$$x=-\frac{3}{2}$$