Los 4x-3y=2text{and}x+5y=-11 op

$$4 x - 3 y = 2 \text { and } x + 5 y = - 11$$

Oplossen voor x, y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie

Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$4x-3y=2$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 3y op.

$$4x=3y+2$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+2\right)$$

Vermenigvuldig \frac{1}{4} met 3y+2.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}$$

Substitueer \frac{3y}{4}+\frac{1}{2} voor x in de andere vergelijking: x+5y=-11.

$$\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}+5y=-11$$

Tel \frac{3y}{4} op bij 5y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{1}{2}=-11$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking \frac{1}{2} af.

$$\frac{23}{4}y=-\frac{23}{2}$$

Deel beide kanten van de vergelijking door \frac{23}{4}. Dit is hetzelfde is als beide kanten vermenigvuldigen met de omgekeerde waarde van de breuk.

$$y=-2$$

Vervang -2 door y in x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{2}. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}$$

Vermenigvuldig \frac{3}{4} met -2.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Tel \frac{1}{2} op bij -\frac{3}{2} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$x=-1$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=-1,y=-2$$

Stappen die gebruikmaken van matrices

Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Schrijf de vergelijkingen als matrices.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Voor de 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), wordt de omgekeerde matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zodat de matrixvergelijking kan worden herschreven als een probleem met matrixvermeniging.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4\times 5-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4\times 5-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{1}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-11\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\times 2+\frac{3}{23}\left(-11\right)\\-\frac{1}{23}\times 2+\frac{4}{23}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

Herleid de matrixelementen x en y.

$$x=-1,y=-2$$

Stappen die gebruikmaken van eliminatie

Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.

$$4x-3y=2,x+5y=-11$$

Als u 4x en x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met 1 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 4.

$$4x-3y=2,4x+4\times 5y=4\left(-11\right)$$

Vereenvoudig.

$$4x-3y=2,4x+20y=-44$$

Trek 4x+20y=-44 af van 4x-3y=2 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.

$$4x-4x-3y-20y=2+44$$

Tel 4x op bij -4x. De termen 4x en -4x worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.

$$-3y-20y=2+44$$

Tel -3y op bij -20y.

$$-23y=2+44$$

Tel 2 op bij 44.

$$-23y=46$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -23.

$$y=-2$$

Vervang -2 door y in x+5y=-11. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$x+5\left(-2\right)=-11$$

Vermenigvuldig 5 met -2.

$$x-10=-11$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 10 op.

$$x=-1$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=-1,y=-2$$