Los 4x^2-5x-1=0 op

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Oplossen voor x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1,42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0,17539053$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 4 voor a, -5 voor b en -1 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Bereken de wortel van -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Vermenigvuldig -4 met 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Vermenigvuldig -16 met -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Tel 25 op bij 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Het tegenovergestelde van -5 is 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Vermenigvuldig 2 met 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} op als ± positief is. Tel 5 op bij \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} op als ± negatief is. Trek \sqrt{41} af van 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 1 op.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Als u -1 aftrekt van zichzelf, is de uitkomst 0.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Trek -1 af van 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

Delen door 4 maakt de vermenigvuldiging met 4 ongedaan.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Deel -\frac{5}{4}, de coëfficiënt van de x term door 2 om -\frac{5}{8} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van -\frac{5}{8} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van -\frac{5}{8} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Tel \frac{1}{4} op bij \frac{25}{64} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Factoriseer x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Vereenvoudig.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{5}{8} op.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$