Los 13n^2-41n-120=0 op

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Oplossen voor n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Stappen bij factorisering door te groeperen

Als u de vergelijking wilt oplossen, verdeelt u de linker-en rechterkant van de groepering. De eerste, de linkerzijde moet worden herschreven als 13n^{2}+an+bn-120. Als u a en b wilt zoeken, moet u een systeem instellen dat kan worden opgelost.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Omdat ab negatief is, a en b de tegenovergestelde tekens. Omdat a+b negatief is, heeft het negatieve getal een grotere absolute waarde dan de positieve. Alle paren met gehele getallen die een product -1560 geven weergeven.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Bereken de som voor elk paar.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

De oplossing is het paar dat de som -41 geeft.

$$a=-65 b=24$$

Herschrijf 13n^{2}-41n-120 als \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Beledigt 13n in de eerste en 24 in de tweede groep.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Factoriseer de gemeenschappelijke term n-5 door gebruik te maken van distributieve eigenschap.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Als u oplossingen voor vergelijkingen zoekt, lost u n-5=0 en 13n+24=0 op.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 13 voor a, -41 voor b en -120 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Bereken de wortel van -41.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Vermenigvuldig -4 met 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Vermenigvuldig -52 met -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Tel 1681 op bij 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Bereken de vierkantswortel van 7921.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Het tegenovergestelde van -41 is 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Vermenigvuldig 2 met 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Los nu de vergelijking n=\frac{41±89}{26} op als ± positief is. Tel 41 op bij 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Deel 130 door 26.

$$n=5$$

Los nu de vergelijking n=\frac{41±89}{26} op als ± negatief is. Trek 89 af van 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{-48}{26} tot de kleinste termen door 2 af te trekken en weg te strepen.

$$n=-\frac{24}{13}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 120 op.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Als u -120 aftrekt van zichzelf, is de uitkomst 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Trek -120 af van 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 13.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

Delen door 13 maakt de vermenigvuldiging met 13 ongedaan.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Deel -\frac{41}{13}, de coëfficiënt van de x term door 2 om -\frac{41}{26} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van -\frac{41}{26} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van -\frac{41}{26} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Tel \frac{120}{13} op bij \frac{1681}{676} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Factoriseer n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Vereenvoudig.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{41}{26} op.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$