Los (2x-3)(x+1)-(x-2)<0 op

$$(2x-3)(x+1)-(x-2) < 0$$

Oplossen voor x

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Gebruik de distributieve eigenschap om 2x-3 te vermenigvuldigen met x+1 en gelijke termen te combineren.

$$2x^{2}-x-3-\left(x-2\right)<0$$

Zoek het tegenovergestelde van elke term om het tegenovergestelde van x-2 te krijgen.

$$2x^{2}-x-3-x+2<0$$

Combineer -x en -x om -2x te krijgen.

$$2x^{2}-2x-3+2<0$$

Tel -3 en 2 op om -1 te krijgen.

$$2x^{2}-2x-1<0$$

Als u de ongelijkheid wilt oplossen, factoriseert u de linkerkant. Kwadratische polynoom kan worden gefactoriseerd met de transformatie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), waarbij x_{1} en x_{2} de oplossingen van de kwadratische vergelijking ax^{2}+bx+c=0 zijn.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Alle vergelijkingen met de notatie ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Vervang a door 2, b door -2 en c door -1 in de kwadratische formule.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Voer de berekeningen uit.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

De vergelijking x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} oplossen wanneer ± plus en ± minteken is.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Herschrijf de ongelijkheid met behulp van de verkregen oplossingen.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)<0$$

Het product kan alleen negatief zijn als x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} en x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} van het tegengestelde teken zijn. Bekijk de zaak wanneer x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} positief is en x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} negatief is.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Dit is onwaar voor elke x.

$$x\in \emptyset$$

Bekijk de zaak wanneer x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} positief is en x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} negatief is.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0$$

De oplossing die voldoet aan beide ongelijkheden, is x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$

De uiteindelijke oplossing is de samenvoeging van de verkregen oplossingen.

$$x\in \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2},\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)$$