Los ∫ (from 1 to 5) of (15t^3-135t^2+225t)dt= op

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } ( 15 t ^ { 3 } - 135 t ^ { 2 } + 225 t ) d t =$$

Evalueren

$$-540$$

Oplossingsstappen

Evalueer eerst de onbeperkte integraal.

$$\int 15t^{3}-135t^{2}+225t\mathrm{d}t$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int 15t^{3}\mathrm{d}t+\int -135t^{2}\mathrm{d}t+\int 225t\mathrm{d}t$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$15\int t^{3}\mathrm{d}t-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

Vervang \int t^{3}\mathrm{d}t door \frac{t^{4}}{4}, omdat \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 15 met \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-135\int t^{2}\mathrm{d}t+225\int t\mathrm{d}t$$

Vervang \int t^{2}\mathrm{d}t door \frac{t^{3}}{3}, omdat \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig -135 met \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+225\int t\mathrm{d}t$$

Vervang \int t\mathrm{d}t door \frac{t^{2}}{2}, omdat \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 225 met \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{15t^{4}}{4}-45t^{3}+\frac{225t^{2}}{2}$$

De bepaalde integraal is de primitieve functie van de expressie geëvalueerd op de bovenste integratiegrens min de primitieve functie geëvalueerd op de onderste integratiegrens.

$$\frac{15}{4}\times 5^{4}-45\times 5^{3}+\frac{225}{2}\times 5^{2}-\left(\frac{15}{4}\times 1^{4}-45\times 1^{3}+\frac{225}{2}\times 1^{2}\right)$$

Vereenvoudig.

$$-540$$