Los ∫ (from 0 to e) of (2x^2-x+1) wrt x op

$$\int _ { 0 } ^ { e } ( 2 x ^ { 2 } - x + 1 ) d x$$

Evalueren

$$\frac{2e^{3}}{3}-\frac{e^{2}}{2}+e\approx 12,414111728$$

Oplossingsstappen

Evalueer eerst de onbeperkte integraal.

$$\int 2x^{2}-x+1\mathrm{d}x$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int 2x^{2}\mathrm{d}x+\int -x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$2\int x^{2}\mathrm{d}x-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{2}\mathrm{d}x door \frac{x^{3}}{3}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 2 met \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\int x\mathrm{d}x+\int 1\mathrm{d}x$$

Vervang \int x\mathrm{d}x door \frac{x^{2}}{2}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig -1 met \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+\int 1\mathrm{d}x$$

De integraal van 1 zoeken met behulp van de tabel met algemene integralen regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{2x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+x$$

De bepaalde integraal is de primitieve functie van de expressie geëvalueerd op de bovenste integratiegrens min de primitieve functie geëvalueerd op de onderste integratiegrens.

$$\frac{2}{3}e^{3}-\frac{e^{2}}{2}+e-\left(\frac{2}{3}\times 0^{3}-\frac{0^{2}}{2}+0\right)$$

Vereenvoudig.

$$\frac{2e^{3}}{3}-\frac{e^{2}}{2}+e$$