Los ∫ (x^8+6)^38x^7 wrt x op

$$\int ( x ^ { 8 } + 6 ) ^ { 3 } 8 x ^ { 7 } d x$$

Evalueren

$$\frac{x^{32}}{4}+6x^{24}+54x^{16}+216x^{8}+С$$

Oplossingsstappen

Gebruik het binomium van Newton \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} om \left(x^{8}+6\right)^{3} uit te breiden.

$$\int \left(\left(x^{8}\right)^{3}+18\left(x^{8}\right)^{2}+108x^{8}+216\right)\times 8x^{7}\mathrm{d}x$$

Als u de macht van een getal wilt verheffen tot de macht van een ander getal, vermenigvuldigt u de exponenten. Vermenigvuldig 8 en 3 om 24 te krijgen.

$$\int \left(x^{24}+18\left(x^{8}\right)^{2}+108x^{8}+216\right)\times 8x^{7}\mathrm{d}x$$

Als u de macht van een getal wilt verheffen tot de macht van een ander getal, vermenigvuldigt u de exponenten. Vermenigvuldig 8 en 2 om 16 te krijgen.

$$\int \left(x^{24}+18x^{16}+108x^{8}+216\right)\times 8x^{7}\mathrm{d}x$$

Gebruik de distributieve eigenschap om x^{24}+18x^{16}+108x^{8}+216 te vermenigvuldigen met 8.

$$\int \left(8x^{24}+144x^{16}+864x^{8}+1728\right)x^{7}\mathrm{d}x$$

Gebruik de distributieve eigenschap om 8x^{24}+144x^{16}+864x^{8}+1728 te vermenigvuldigen met x^{7}.

$$\int 8x^{31}+144x^{23}+864x^{15}+1728x^{7}\mathrm{d}x$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int 8x^{31}\mathrm{d}x+\int 144x^{23}\mathrm{d}x+\int 864x^{15}\mathrm{d}x+\int 1728x^{7}\mathrm{d}x$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$8\int x^{31}\mathrm{d}x+144\int x^{23}\mathrm{d}x+864\int x^{15}\mathrm{d}x+1728\int x^{7}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{31}\mathrm{d}x door \frac{x^{32}}{32}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 8 met \frac{x^{32}}{32}.

$$\frac{x^{32}}{4}+144\int x^{23}\mathrm{d}x+864\int x^{15}\mathrm{d}x+1728\int x^{7}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{23}\mathrm{d}x door \frac{x^{24}}{24}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 144 met \frac{x^{24}}{24}.

$$\frac{x^{32}}{4}+6x^{24}+864\int x^{15}\mathrm{d}x+1728\int x^{7}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{15}\mathrm{d}x door \frac{x^{16}}{16}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 864 met \frac{x^{16}}{16}.

$$\frac{x^{32}}{4}+6x^{24}+54x^{16}+1728\int x^{7}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{7}\mathrm{d}x door \frac{x^{8}}{8}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 1728 met \frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{x^{32}}{4}+6x^{24}+54x^{16}+216x^{8}$$

Als F\left(x\right) een primitieve functie is van f\left(x\right), wordt de set van alle antiderivatives van f\left(x\right) gegeven door F\left(x\right)+C. Voeg daarom de constante van integratie C\in \mathrm{R} toe aan het resultaat.

$$216x^{8}+54x^{16}+6x^{24}+\frac{x^{32}}{4}+С$$

Differentieer ten opzichte van x

$$8x^{7}\left(x^{8}+6\right)^{3}$$