Los ∫ (x+1)(2x-1)(x+9) wrt x op

$$\int ( x + 1 ) ( 2 x - 1 ) ( x + 9 ) d x$$

Evalueren

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x+С$$

Oplossingsstappen

Pas de distributieve eigenschap toe door elke term van x+1 te vermenigvuldigen met elke term van 2x-1.

$$\int \left(2x^{2}-x+2x-1\right)\left(x+9\right)\mathrm{d}x$$

Combineer -x en 2x om x te krijgen.

$$\int \left(2x^{2}+x-1\right)\left(x+9\right)\mathrm{d}x$$

Pas de distributieve eigenschap toe door elke term van 2x^{2}+x-1 te vermenigvuldigen met elke term van x+9.

$$\int 2x^{3}+18x^{2}+x^{2}+9x-x-9\mathrm{d}x$$

Combineer 18x^{2} en x^{2} om 19x^{2} te krijgen.

$$\int 2x^{3}+19x^{2}+9x-x-9\mathrm{d}x$$

Combineer 9x en -x om 8x te krijgen.

$$\int 2x^{3}+19x^{2}+8x-9\mathrm{d}x$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 19x^{2}\mathrm{d}x+\int 8x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+19\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{3}\mathrm{d}x door \frac{x^{4}}{4}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 2 met \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+19\int x^{2}\mathrm{d}x+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{2}\mathrm{d}x door \frac{x^{3}}{3}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 19 met \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+8\int x\mathrm{d}x+\int -9\mathrm{d}x$$

Vervang \int x\mathrm{d}x door \frac{x^{2}}{2}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 8 met \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}+\int -9\mathrm{d}x$$

De integraal van -9 zoeken met behulp van de tabel met algemene integralen regel \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x$$

Als F\left(x\right) een primitieve functie is van f\left(x\right), wordt de set van alle antiderivatives van f\left(x\right) gegeven door F\left(x\right)+C. Voeg daarom de constante van integratie C\in \mathrm{R} toe aan het resultaat.

$$\frac{x^{4}}{2}+\frac{19x^{3}}{3}+4x^{2}-9x+С$$

Differentieer ten opzichte van x

$$\left(2x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+9\right)$$