समाधान y^2-42y+216=0

$$y ^ { 2 } - 42 y + 216 = 0$$

y को लागि हल गर्नुहोस्

$$y=6$$

$$y=36$$

खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, y^{2}-42y+216 लाई फर्मूला y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) प्रयोग गरी फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-42 ab=216$$

ab सकारात्मक भएको हुनाले, a र b को समान चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, a र b दुबै नकारात्मक हुन्छन्। गुणनफल 216 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -42 दिन्छ।

$$a=-36 b=-6$$

प्राप्त मानहरूको प्रयोग गरेर खण्डीकरण गरिएको अभिव्यञ्जक \left(y+a\right)\left(y+b\right) लाई पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, y-36=0 र y-6=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$y=36 y=6$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई y^{2}+ay+by+216 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-42 ab=1\times 216=216$$

ab सकारात्मक भएको हुनाले, a र b को समान चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, a र b दुबै नकारात्मक हुन्छन्। गुणनफल 216 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -42 दिन्छ।

$$a=-36 b=-6$$

y^{2}-42y+216 लाई \left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)$$

y लाई पहिलो र -6 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$y\left(y-36\right)-6\left(y-36\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म y-36 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, y-36=0 र y-6=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$y=36 y=6$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$y^{2}-42y+216=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 1 ले, b लाई -42 ले र c लाई 216 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 216}}{2}$$

-42 वर्ग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 216}}{2}$$

-4 लाई 216 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2}$$

-864 मा 1764 जोड्नुहोस्

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2}$$

900 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$y=\frac{-\left(-42\right)±30}{2}$$

-42 विपरीत 42हो।

$$y=\frac{42±30}{2}$$

अब ± प्लस मानेर y=\frac{42±30}{2} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 30 मा 42 जोड्नुहोस्

$$y=\frac{72}{2}$$

72 लाई 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=36$$

अब ± माइनस मानेर y=\frac{42±30}{2} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 42 बाट 30 घटाउनुहोस्।

$$y=\frac{12}{2}$$

12 लाई 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=6$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$y=36 y=6$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$y^{2}-42y+216=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 216 घटाउनुहोस्।

$$y^{2}-42y+216-216=-216$$

216 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$y^{2}-42y=-216$$

2 द्वारा -21 प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -42 ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -21 को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$y^{2}-42y+\left(-21\right)^{2}=-216+\left(-21\right)^{2}$$

-21 वर्ग गर्नुहोस्।

$$y^{2}-42y+441=-216+441$$

441 मा -216 जोड्नुहोस्

$$y^{2}-42y+441=225$$

कारक y^{2}-42y+441। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(y-21\right)^{2}=225$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(y-21\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$y-21=15 y-21=-15$$

समीकरणको दुबैतिर 21 जोड्नुहोस्।

$$y=36 y=6$$