समाधान x^2-3x-108=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 108 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-9$$

$$x=12$$

खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, x^{2}-3x-108 लाई फर्मूला x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) प्रयोग गरी फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-3 ab=-108$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -108 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -3 दिन्छ।

$$a=-12 b=9$$

प्राप्त मानहरूको प्रयोग गरेर खण्डीकरण गरिएको अभिव्यञ्जक \left(x+a\right)\left(x+b\right) लाई पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, x-12=0 र x+9=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=12 x=-9$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई x^{2}+ax+bx-108 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-3 ab=1\left(-108\right)=-108$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -108 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -3 दिन्छ।

$$a=-12 b=9$$

x^{2}-3x-108 लाई \left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right)$$

x लाई पहिलो र 9 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$x\left(x-12\right)+9\left(x-12\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म x-12 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, x-12=0 र x+9=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=12 x=-9$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$x^{2}-3x-108=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 1 ले, b लाई -3 ले र c लाई -108 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-108\right)}}{2}$$

-3 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-108\right)}}{2}$$

-4 लाई -108 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2}$$

432 मा 9 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2}$$

441 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2}$$

-3 विपरीत 3हो।

$$x=\frac{3±21}{2}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{3±21}{2} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 21 मा 3 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{24}{2}$$

24 लाई 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=12$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{3±21}{2} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 3 बाट 21 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{18}{2}$$

-18 लाई 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-9$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=12 x=-9$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$x^{2}-3x-108=0$$

समीकरणको दुबैतिर 108 जोड्नुहोस्।

$$x^{2}-3x-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

-108 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$x^{2}-3x=-\left(-108\right)$$

0 बाट -108 घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-3x=108$$

2 द्वारा -\frac{3}{2} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -3 ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{3}{2} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=108+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{3}{2} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=108+\frac{9}{4}$$

\frac{9}{4} मा 108 जोड्नुहोस्

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{441}{4}$$

कारक x^{2}-3x+\frac{9}{4}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{3}{2}=\frac{21}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{21}{2}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{3}{2} जोड्नुहोस्।

$$x=12 x=-9$$