समाधान 6x-9y=-1,-2x+y=1

$$6 x - 9 y = - 1 , - 2 x + y = 1$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$6x-9y=-1$$

समीकरणको दुबैतिर 9y जोड्नुहोस्।

$$6x=9y-1$$

दुबैतिर 6 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{6}\left(9y-1\right)$$

\frac{1}{6} लाई 9y-1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}$$

\frac{3y}{2}-\frac{1}{6} लाई x ले अर्को समीकरण -2x+y=1 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-2\left(\frac{3}{2}y-\frac{1}{6}\right)+y=1$$

-2 लाई \frac{3y}{2}-\frac{1}{6} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-3y+\frac{1}{3}+y=1$$

y मा -3y जोड्नुहोस्

$$-2y+\frac{1}{3}=1$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{1}{3} घटाउनुहोस्।

$$-2y=\frac{2}{3}$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{1}{6} मा y लाई -\frac{1}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)-\frac{1}{6}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी \frac{3}{2} लाई -\frac{1}{3} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{6}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{1}{6} लाई -\frac{1}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-9\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&-\frac{-9}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}&\frac{6}{6-\left(-9\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{6}\left(-1\right)-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$6x-9y=-1,-2x+y=1$$

6x र -2x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -2 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 6 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$-2\times 6x-2\left(-9\right)y=-2\left(-1\right),6\left(-2\right)x+6y=6$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-12x+18y=2,-12x+6y=6$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -12x+18y=2 बाट -12x+6y=6 घटाउनुहोस्।

$$-12x+12x+18y-6y=2-6$$

12x मा -12x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -12x र 12x राशी रद्द हुन्छन्।

$$18y-6y=2-6$$

-6y मा 18y जोड्नुहोस्

$$12y=2-6$$

-6 मा 2 जोड्नुहोस्

$$12y=-4$$

दुबैतिर 12 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-\frac{1}{3}$$

-2x+y=1 मा y लाई -\frac{1}{3} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$-2x-\frac{1}{3}=1$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{1}{3} जोड्नुहोस्।

$$-2x=\frac{4}{3}$$

दुबैतिर -2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{3}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{2}{3},y=-\frac{1}{3}$$