समाधान 5x^2-4x-1=0

$$5 x ^ { 2 } - 4 x - 1 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=1$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 5x^{2}+ax+bx-1 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-4 ab=5\left(-1\right)=-5$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। त्यस्तो मात्र जोडी प्रणाली समाधान हो।

$$a=-5 b=1$$

5x^{2}-4x-1 लाई \left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(x-1\right)$$

5x^{2}-5x मा 5x खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$5x\left(x-1\right)+x-1$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म x-1 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(x-1\right)\left(5x+1\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, x-1=0 र 5x+1=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$5x^{2}-4x-1=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 5 ले, b लाई -4 ले र c लाई -1 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

-4 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 5\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

-4 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-20\left(-1\right)}}{2\times 5}$$

-20 लाई -1 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+20}}{2\times 5}$$

20 मा 16 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{36}}{2\times 5}$$

36 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-4\right)±6}{2\times 5}$$

-4 विपरीत 4हो।

$$x=\frac{4±6}{2\times 5}$$

2 लाई 5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{4±6}{10}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{4±6}{10} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 6 मा 4 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{10}{10}$$

10 लाई 10 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=1$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{4±6}{10} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 4 बाट 6 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{2}{10}$$

2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-2}{10} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$5x^{2}-4x-1=0$$

समीकरणको दुबैतिर 1 जोड्नुहोस्।

$$5x^{2}-4x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$5x^{2}-4x=-\left(-1\right)$$

0 बाट -1 घटाउनुहोस्।

$$5x^{2}-4x=1$$

दुबैतिर 5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{5x^{2}-4x}{5}=\frac{1}{5}$$

5 द्वारा भाग गर्नाले 5 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

2 द्वारा -\frac{2}{5} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{4}{5} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{2}{5} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{2}{5} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{1}{5} लाई \frac{4}{25} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

कारक x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{2}{5} जोड्नुहोस्।

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$