समाधान 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 24x^{2}+ax+bx+21 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

ab सकारात्मक भएको हुनाले, a र b को समान चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, a र b दुबै नकारात्मक हुन्छन्। गुणनफल 504 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -65 दिन्छ।

$$a=-56 b=-9$$

24x^{2}-65x+21 लाई \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

8x लाई पहिलो र -3 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 3x-7 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 3x-7=0 र 8x-3=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$24x^{2}-65x+21=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 24 ले, b लाई -65 ले र c लाई 21 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

-65 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

-4 लाई 24 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

-96 लाई 21 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

-2016 मा 4225 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

2209 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

-65 विपरीत 65हो।

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

2 लाई 24 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{65±47}{48}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{65±47}{48} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 47 मा 65 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{112}{48}$$

16 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{112}{48} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{7}{3}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{65±47}{48} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 65 बाट 47 घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{18}{48}$$

6 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{18}{48} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{3}{8}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$24x^{2}-65x+21=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 21 घटाउनुहोस्।

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

21 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$24x^{2}-65x=-21$$

दुबैतिर 24 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

24 द्वारा भाग गर्नाले 24 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

3 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-21}{24} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

2 द्वारा -\frac{65}{48} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{65}{24} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{65}{48} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{65}{48} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{7}{8} लाई \frac{4225}{2304} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

कारक x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{65}{48} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$