समाधान 20x^2-11x-3=0

$$20 x ^ { 2 } - 11 x - 3 = 0$$

x को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 20x^{2}+ax+bx-3 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-11 ab=20\left(-3\right)=-60$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -60 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -11 दिन्छ।

$$a=-15 b=4$$

20x^{2}-11x-3 लाई \left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(20x^{2}-15x\right)+\left(4x-3\right)$$

20x^{2}-15x मा 5x खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$5x\left(4x-3\right)+4x-3$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 4x-3 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(4x-3\right)\left(5x+1\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 4x-3=0 र 5x+1=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$20x^{2}-11x-3=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 20 ले, b लाई -11 ले र c लाई -3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

-11 वर्ग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

-4 लाई 20 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-80\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

-80 लाई -3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 20}$$

240 मा 121 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 20}$$

361 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$x=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 20}$$

-11 विपरीत 11हो।

$$x=\frac{11±19}{2\times 20}$$

2 लाई 20 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{11±19}{40}$$

अब ± प्लस मानेर x=\frac{11±19}{40} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 19 मा 11 जोड्नुहोस्

$$x=\frac{30}{40}$$

10 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{30}{40} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=\frac{3}{4}$$

अब ± माइनस मानेर x=\frac{11±19}{40} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 11 बाट 19 घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{8}{40}$$

8 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-8}{40} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$x=-\frac{1}{5}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$20x^{2}-11x-3=0$$

समीकरणको दुबैतिर 3 जोड्नुहोस्।

$$20x^{2}-11x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$20x^{2}-11x=-\left(-3\right)$$

0 बाट -3 घटाउनुहोस्।

$$20x^{2}-11x=3$$

दुबैतिर 20 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{20x^{2}-11x}{20}=\frac{3}{20}$$

20 द्वारा भाग गर्नाले 20 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$x^{2}-\frac{11}{20}x=\frac{3}{20}$$

2 द्वारा -\frac{11}{40} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{11}{20} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{11}{40} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{3}{20}+\left(-\frac{11}{40}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{11}{40} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{3}{20}+\frac{121}{1600}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{3}{20} लाई \frac{121}{1600} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}=\frac{361}{1600}$$

कारक x^{2}-\frac{11}{20}x+\frac{121}{1600}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}=\frac{361}{1600}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{1600}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$x-\frac{11}{40}=\frac{19}{40} x-\frac{11}{40}=-\frac{19}{40}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{11}{40} जोड्नुहोस्।

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{5}$$