समाधान 2r^2+21r+54=0

$$2 r ^ { 2 } + 21 r + 54 = 0$$

r को लागि हल गर्नुहोस्

$$r = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$r=-6$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 2r^{2}+ar+br+54 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=21 ab=2\times 54=108$$

ab सकारात्मक भएको हुनाले, a र b को समान चिन्ह हुन्छ। a+b सकारात्मक भएको हुनाले, a र b दुबै सकारात्मक हुन्छन्। गुणनफल 108 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल 21 दिन्छ।

$$a=9 b=12$$

2r^{2}+21r+54 लाई \left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(2r^{2}+9r\right)+\left(12r+54\right)$$

r लाई पहिलो र 6 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$r\left(2r+9\right)+6\left(2r+9\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म 2r+9 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(2r+9\right)\left(r+6\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, 2r+9=0 र r+6=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$2r^{2}+21r+54=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 2 ले, b लाई 21 ले र c लाई 54 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$r=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

21 वर्ग गर्नुहोस्।

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

-4 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-8\times 54}}{2\times 2}$$

-8 लाई 54 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$r=\frac{-21±\sqrt{441-432}}{2\times 2}$$

-432 मा 441 जोड्नुहोस्

$$r=\frac{-21±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

9 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$r=\frac{-21±3}{2\times 2}$$

2 लाई 2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$r=\frac{-21±3}{4}$$

अब ± प्लस मानेर r=\frac{-21±3}{4} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 3 मा -21 जोड्नुहोस्

$$r=-\frac{18}{4}$$

2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-18}{4} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$r=-\frac{9}{2}$$

अब ± माइनस मानेर r=\frac{-21±3}{4} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। -21 बाट 3 घटाउनुहोस्।

$$r=-\frac{24}{4}$$

-24 लाई 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$r=-6$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$2r^{2}+21r+54=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 54 घटाउनुहोस्।

$$2r^{2}+21r+54-54=-54$$

54 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$2r^{2}+21r=-54$$

दुबैतिर 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{2r^{2}+21r}{2}=-\frac{54}{2}$$

2 द्वारा भाग गर्नाले 2 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-\frac{54}{2}$$

-54 लाई 2 ले भाग गर्नुहोस्।

$$r^{2}+\frac{21}{2}r=-27$$

2 द्वारा \frac{21}{4} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई \frac{21}{2} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि \frac{21}{4} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}=-27+\left(\frac{21}{4}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर \frac{21}{4} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=-27+\frac{441}{16}$$

\frac{441}{16} मा -27 जोड्नुहोस्

$$r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}=\frac{9}{16}$$

कारक r^{2}+\frac{21}{2}r+\frac{441}{16}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(r+\frac{21}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$r+\frac{21}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{21}{4}=-\frac{3}{4}$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{21}{4} घटाउनुहोस्।

$$r=-\frac{9}{2} r=-6$$