समाधान 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

n को लागि हल गर्नुहोस्

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1.846153846$$

$$n=5$$

समूहमा राखेर खण्डीकरण प्रयोगका चरणहरू

समीकरणको समाधान गर्न, बायाँ भागलाई समूहमा राखेर फ्याक्टर निकाल्नुहोस्। सर्वप्रथम, बायाँ भागलाई 13n^{2}+an+bn-120 को रूपमा पुन: लेख्न आवश्यक हुन्छ। a र b पत्ता लगाउन, समाधान गर्नका लागि प्रणाली सेटअप गर्नुहोस्।

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

ab नकारात्मक भएको हुनाले, a र b को विपरीत चिन्ह हुन्छ। a+b नकारात्मक भएको हुनाले, नकारात्मक नम्बरको यथार्थ मान सकारात्मकको भन्दा धेरै हुन्छ। गुणनफल -1560 दिने सबै पूर्ण संख्याहरूलाई सूचीबद्ध गर्नुहोस्।

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

प्रत्येक जोडीका लागि जोडफल गणना गर्नुहोस्।

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

समाधान त्यो जोडी हो जसले जोडफल -41 दिन्छ।

$$a=-65 b=24$$

13n^{2}-41n-120 लाई \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right) को रूपमा पुन: लेख्नुहोस्।

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

13n लाई पहिलो र 24 लाई दोस्रो समूहमा सन्दर्भ लिनुहोस्।

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

वितरक गुण प्रयोग गरेर समान टर्म n-5 खण्डिकरण गर्नुहोस्।

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

समीकरणको समाधान पत्ता लगाउन, n-5=0 र 13n+24=0 को समाधान गर्नुहोस्।

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

वर्ग सूत्र प्रयोग गर्ने चरणहरू

ax^{2}+bx+c=0 रूपका सबै समीकरणहरू वर्ग सूत्र: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} प्रयोग गरेर हल गर्न सकिन्छ। एउटा, ± जोड हँदा र अर्को घटाउ हुँदा वर्ग सूत्रले दुईवटा समाधानहरू दिन्छ।

$$13n^{2}-41n-120=0$$

यो समीकरण मानक ढाँचामा छ: ax^{2}+bx+c=0। वर्ग सूत्र \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} मा a लाई 13 ले, b लाई -41 ले र c लाई -120 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-41 वर्ग गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-4 लाई 13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

-52 लाई -120 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

6240 मा 1681 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

7921 को वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

-41 विपरीत 41हो।

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

2 लाई 13 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$n=\frac{41±89}{26}$$

अब ± प्लस मानेर n=\frac{41±89}{26} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 89 मा 41 जोड्नुहोस्

$$n=\frac{130}{26}$$

130 लाई 26 ले भाग गर्नुहोस्।

$$n=5$$

अब ± माइनस मानेर n=\frac{41±89}{26} समीकरणलाई हल गर्नुहोस्। 41 बाट 89 घटाउनुहोस्।

$$n=-\frac{48}{26}$$

2 लाई झिकेर र रद्द गरेर, भिनन \frac{-48}{26} लाई तल्लो टर्ममा घटाउनुहोस्।

$$n=-\frac{24}{13}$$

अब समिकरण समाधान भएको छ।

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

वर्ग पूरा गर्ने चरणहरू

यो जस्ता वर्ग समीकरणहरूको वर्गलाई पूरा गरेर यिनीहरू हल हुन सक्छन्। वर्गलाई पूरा गर्नको लागि, समीकरण सुरुमा x^{2}+bx=c को रूपमा हुनुपर्छ।

$$13n^{2}-41n-120=0$$

समीकरणको दुबैतिर 120 जोड्नुहोस्।

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 लाई आफैबाट घटाउनाले 0 बाँकी रहन्छ।

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

0 बाट -120 घटाउनुहोस्।

$$13n^{2}-41n=120$$

दुबैतिर 13 ले भाग गर्नुहोस्।

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

13 द्वारा भाग गर्नाले 13 द्वारा गुणा गरिएकोलाई फिर्ता गर्दछ।

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

2 द्वारा -\frac{41}{26} प्राप्त गर्न x पदको गुणाङ्कलाई -\frac{41}{13} ले भाग गर्नुहोस्। त्यसपछि -\frac{41}{26} को वर्गलाई समीकरणको दुबैतिर जोड्नुहोस्। यो चरणले समीकरणको बायाँ भागलाई पूर्ण वर्ग बनाउँछ।

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

भिन्नको अंश र हर दुबैलाई वर्ग गरेर -\frac{41}{26} लाई वर्ग गर्नुहोस्।

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{120}{13} लाई \frac{1681}{676} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

कारक n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}। सामान्यतया, यदि x^{2}+bx+c एक उचित वर्ग हो भने यसलाई \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}को रूपमा कारक गर्न सकिन्छ।

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

समीकरणको दुबैतिरको वर्गमूल निकाल्नुहोस्।

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

सरल गर्नुहोस्।

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{41}{26} जोड्नुहोस्।

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$