समाधान {c}{x+y=12}{x=3y}

$$\left.\begin{array} { c } { x + y = 12 } \\ { x = 3 y } \end{array} \right\}$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=9$$

$$y=3$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x-3y=0$$

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$x+y=12,x-3y=0$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$x+y=12$$

समीकरणको दुबैतिरबाट y घटाउनुहोस्।

$$x=-y+12$$

-y+12 लाई x ले अर्को समीकरण x-3y=0 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-y+12-3y=0$$

-3y मा -y जोड्नुहोस्

$$-4y+12=0$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 12 घटाउनुहोस्।

$$-4y=-12$$

दुबैतिर -4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

x=-y+12 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-3+12$$

-3 मा 12 जोड्नुहोस्

$$x=9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=9,y=3$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x-3y=0$$

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$x+y=12,x-3y=0$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\0\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 12\\\frac{1}{4}\times 12\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\3\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=9,y=3$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

दोस्रो समीकरणलाई मनन गर्नुहोस्। दुवै छेउबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$x-3y=0$$

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$x+y=12,x-3y=0$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर x+y=12 बाट x-3y=0 घटाउनुहोस्।

$$x-x+y+3y=12$$

-x मा x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै x र -x राशी रद्द हुन्छन्।

$$y+3y=12$$

3y मा y जोड्नुहोस्

$$4y=12$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=3$$

x-3y=0 मा y लाई 3 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x-3\times 3=0$$

-3 लाई 3 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x-9=0$$

समीकरणको दुबैतिर 9 जोड्नुहोस्।

$$x=9$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=9,y=3$$