समाधान {l}{7x+2y=-33}{x+9y=65}

$$\left. \begin{array}{l}{ 7 x + 2 y = - 33 }\\{ x + 9 y = 65 }\end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=-7$$

$$y=8$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$7x+2y=-33$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$7x=-2y-33$$

दुबैतिर 7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{7}\left(-2y-33\right)$$

\frac{1}{7} लाई -2y-33 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}$$

\frac{-2y-33}{7} लाई x ले अर्को समीकरण x+9y=65 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7}+9y=65$$

9y मा -\frac{2y}{7} जोड्नुहोस्

$$\frac{61}{7}y-\frac{33}{7}=65$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{33}{7} जोड्नुहोस्।

$$\frac{61}{7}y=\frac{488}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{61}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=8$$

x=-\frac{2}{7}y-\frac{33}{7} मा y लाई 8 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{2}{7}\times 8-\frac{33}{7}$$

-\frac{2}{7} लाई 8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-16-33}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर -\frac{33}{7} लाई -\frac{16}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-7,y=8$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\1&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{7\times 9-2}&-\frac{2}{7\times 9-2}\\-\frac{1}{7\times 9-2}&\frac{7}{7\times 9-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}&-\frac{2}{61}\\-\frac{1}{61}&\frac{7}{61}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-33\\65\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{61}\left(-33\right)-\frac{2}{61}\times 65\\-\frac{1}{61}\left(-33\right)+\frac{7}{61}\times 65\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-7,y=8$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$7x+2y=-33,x+9y=65$$

7x र x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 1 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$7x+2y=-33,7x+7\times 9y=7\times 65$$

सरल गर्नुहोस्।

$$7x+2y=-33,7x+63y=455$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 7x+2y=-33 बाट 7x+63y=455 घटाउनुहोस्।

$$7x-7x+2y-63y=-33-455$$

-7x मा 7x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 7x र -7x राशी रद्द हुन्छन्।

$$2y-63y=-33-455$$

-63y मा 2y जोड्नुहोस्

$$-61y=-33-455$$

-455 मा -33 जोड्नुहोस्

$$-61y=-488$$

दुबैतिर -61 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=8$$

x+9y=65 मा y लाई 8 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x+9\times 8=65$$

9 लाई 8 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x+72=65$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 72 घटाउनुहोस्।

$$x=-7$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-7,y=8$$