समाधान {l}{4a+2b=34}{16a+3b=91}

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 a + 2 b = 34 }\\{ 16 a + 3 b = 91 }\end{array} \right.$$

a, b को लागि हल गर्नुहोस्

$$a=4$$

$$b=9$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको a लाई अलग गरी a का लागि हल गर्नुहोस्।

$$4a+2b=34$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2b घटाउनुहोस्।

$$4a=-2b+34$$

दुबैतिर 4 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=\frac{1}{4}\left(-2b+34\right)$$

\frac{1}{4} लाई -2b+34 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}$$

\frac{-b+17}{2} लाई a ले अर्को समीकरण 16a+3b=91 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$16\left(-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}\right)+3b=91$$

16 लाई \frac{-b+17}{2} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-8b+136+3b=91$$

3b मा -8b जोड्नुहोस्

$$-5b+136=91$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 136 घटाउनुहोस्।

$$-5b=-45$$

दुबैतिर -5 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=9$$

a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2} मा b लाई 9 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$a=-\frac{1}{2}\times 9+\frac{17}{2}$$

-\frac{1}{2} लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$a=\frac{-9+17}{2}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{17}{2} लाई -\frac{9}{2} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$a=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=4,b=9$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\times 16}&-\frac{2}{4\times 3-2\times 16}\\-\frac{16}{4\times 3-2\times 16}&\frac{4}{4\times 3-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}\times 34+\frac{1}{10}\times 91\\\frac{4}{5}\times 34-\frac{1}{5}\times 91\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू a र b लाई ता्नुहोस्।

$$a=4,b=9$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

4a र 16a लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 16 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 4 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$16\times 4a+16\times 2b=16\times 34,4\times 16a+4\times 3b=4\times 91$$

सरल गर्नुहोस्।

$$64a+32b=544,64a+12b=364$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 64a+32b=544 बाट 64a+12b=364 घटाउनुहोस्।

$$64a-64a+32b-12b=544-364$$

-64a मा 64a जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 64a र -64a राशी रद्द हुन्छन्।

$$32b-12b=544-364$$

-12b मा 32b जोड्नुहोस्

$$20b=544-364$$

-364 मा 544 जोड्नुहोस्

$$20b=180$$

दुबैतिर 20 ले भाग गर्नुहोस्।

$$b=9$$

16a+3b=91 मा b लाई 9 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले a लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$16a+3\times 9=91$$

3 लाई 9 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$16a+27=91$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 27 घटाउनुहोस्।

$$16a=64$$

दुबैतिर 16 ले भाग गर्नुहोस्।

$$a=4$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$a=4,b=9$$