समाधान {r}{22x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 22 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x = -\frac{40}{7} = -5\frac{5}{7} \approx -5.714285714$$

$$y = \frac{305}{7} = 43\frac{4}{7} \approx 43.571428571$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$22x+3y=5$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 3y घटाउनुहोस्।

$$22x=-3y+5$$

दुबैतिर 22 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=\frac{1}{22}\left(-3y+5\right)$$

\frac{1}{22} लाई -3y+5 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}$$

\frac{-3y+5}{22} लाई x ले अर्को समीकरण 3x+2y=70 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$3\left(-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22}\right)+2y=70$$

3 लाई \frac{-3y+5}{22} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$-\frac{9}{22}y+\frac{15}{22}+2y=70$$

2y मा -\frac{9y}{22} जोड्नुहोस्

$$\frac{35}{22}y+\frac{15}{22}=70$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{15}{22} घटाउनुहोस्।

$$\frac{35}{22}y=\frac{1525}{22}$$

समीकरणको दुबैतिर \frac{35}{22} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=\frac{305}{7}$$

x=-\frac{3}{22}y+\frac{5}{22} मा y लाई \frac{305}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=-\frac{3}{22}\times \frac{305}{7}+\frac{5}{22}$$

अंश पटकले अंशलाई र हर पटकलाई हरले गुणन गरी -\frac{3}{22} लाई \frac{305}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएसम्म न्यूनतम पदहरूमा भिन्नलाई झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{915}{154}+\frac{5}{22}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{5}{22} लाई -\frac{915}{154} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=-\frac{40}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}22&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{22\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{22\times 2-3\times 3}&\frac{22}{22\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}&-\frac{3}{35}\\-\frac{3}{35}&\frac{22}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{35}\times 5-\frac{3}{35}\times 70\\-\frac{3}{35}\times 5+\frac{22}{35}\times 70\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{7}\\\frac{305}{7}\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$22x+3y=5,3x+2y=70$$

22x र 3x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 3 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 22 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$3\times 22x+3\times 3y=3\times 5,22\times 3x+22\times 2y=22\times 70$$

सरल गर्नुहोस्।

$$66x+9y=15,66x+44y=1540$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर 66x+9y=15 बाट 66x+44y=1540 घटाउनुहोस्।

$$66x-66x+9y-44y=15-1540$$

-66x मा 66x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै 66x र -66x राशी रद्द हुन्छन्।

$$9y-44y=15-1540$$

-44y मा 9y जोड्नुहोस्

$$-35y=15-1540$$

-1540 मा 15 जोड्नुहोस्

$$-35y=-1525$$

दुबैतिर -35 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=\frac{305}{7}$$

3x+2y=70 मा y लाई \frac{305}{7} ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$3x+2\times \frac{305}{7}=70$$

2 लाई \frac{305}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$3x+\frac{610}{7}=70$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{610}{7} घटाउनुहोस्।

$$3x=-\frac{120}{7}$$

दुबैतिर 3 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{40}{7}$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=-\frac{40}{7},y=\frac{305}{7}$$