समाधान {r}{-7x+2y=-39}{9x-5y=55}

$$\left. \begin{array} { r } { - 7 x + 2 y = - 39 } \\ { 9 x - 5 y = 55 } \end{array} \right.$$

x, y को लागि हल गर्नुहोस्

$$x=5$$

$$y=-2$$

प्रतिस्थापन प्रयोग गर्ने चरणहरू

प्रतिस्थापनको प्रयोग गरी जोडी समीकरणहरूको हल गर्न, पहिले एउटा चरको एउटा समीकरण हल गर्नुहोस्। त्यसपछि त्यो चरको मानलाई अर्को समीकरणमा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

समीकरणहरू मध्ये एउटा छान्नुहोस् र बराबर चिह्नको बायाँतिरको x लाई अलग गरी x का लागि हल गर्नुहोस्।

$$-7x+2y=-39$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 2y घटाउनुहोस्।

$$-7x=-2y-39$$

दुबैतिर -7 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=-\frac{1}{7}\left(-2y-39\right)$$

-\frac{1}{7} लाई -2y-39 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}$$

\frac{2y+39}{7} लाई x ले अर्को समीकरण 9x-5y=55 मा प्रतिस्थापन गर्नुहोस्।

$$9\left(\frac{2}{7}y+\frac{39}{7}\right)-5y=55$$

9 लाई \frac{2y+39}{7} पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$\frac{18}{7}y+\frac{351}{7}-5y=55$$

-5y मा \frac{18y}{7} जोड्नुहोस्

$$-\frac{17}{7}y+\frac{351}{7}=55$$

समीकरणको दुबैतिरबाट \frac{351}{7} घटाउनुहोस्।

$$-\frac{17}{7}y=\frac{34}{7}$$

समीकरणको दुबैतिर -\frac{17}{7} ले भाग गर्नुहोस्, जुन दुबैतिर भिन्नको व्युत्क्रमानुपातिकले गुणन गरे बराबर हुन्छ।

$$y=-2$$

x=\frac{2}{7}y+\frac{39}{7} मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$x=\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{39}{7}$$

\frac{2}{7} लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$x=\frac{-4+39}{7}$$

साझा हर फेला पारेर तथा अंशहरूलाई जोडेर \frac{39}{7} लाई -\frac{4}{7} मा जोड्नुहोस्। त्यसपछि सम्भव भएमा भिन्नलाई न्यूनतम पदमा झार्नुहोस्।

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=-2$$

मेट्रिक्स प्रयोग गर्ने चरणहरू

समीकरणलाई स्तरीय रूपमा राख्नुहोस् र त्यसपछि समीकरणहरूको प्रणालीलाई हल गर्न मेट्रिक्सहरू प्रयोग गर्नुहोस्।

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

समीकरणहरूलाई मेट्रिक्स ढाँचामा लेख्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

समीकरणलाई \left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right) को विपरीत म्याट्रिक्सले बायाँतिर गुणन गर्नुहोस्।

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

म्यार्टिक्सको उत्पादन र यसको विपरीत नै म्याट्रिक्सको पहिचान हो।

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

बराबर चिन्हको बायाँ भागमा रहेका म्याट्रिक्सहरूलाई गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&2\\9&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

2\times 2 मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) का लागि, विपरीत मेट्रिक्स \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) हो, त्यसैले मेट्रिक्स समिकरणलाई मेट्रिक्स गुणन समस्याका रूपमा पुन: लेख्न सकिन्छ।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{2}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\\-\frac{9}{-7\left(-5\right)-2\times 9}&-\frac{7}{-7\left(-5\right)-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}&-\frac{2}{17}\\-\frac{9}{17}&-\frac{7}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\55\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्सहरू गुणन गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{17}\left(-39\right)-\frac{2}{17}\times 55\\-\frac{9}{17}\left(-39\right)-\frac{7}{17}\times 55\end{matrix}\right)$$

हिसाब गर्नुहोस्।

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

मेट्रिक्स तत्त्वहरू x र y लाई ता्नुहोस्।

$$x=5,y=-2$$

निराकरण प्रयोग गर्ने चरणहरू

निराकरण गरी हल गर्नको लागि, चरहरू मध्ये एउटा चरको गुणांक दुबै समीकरणहरूमा समान हुनुपर्छ जसले गर्दा अर्कोबाट एउटा समीकरण घटाउँदा चर काटिनेछ।

$$-7x+2y=-39,9x-5y=55$$

-7x र 9x लाई बराबर बनाउन, पहिलो समीकरणको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई 9 ले गुणन गर्नुहोस् र दोस्रोको प्रत्येक भागमा सबै पदहरूलाई -7 ले गुणन गर्नुहोस्।

$$9\left(-7\right)x+9\times 2y=9\left(-39\right),-7\times 9x-7\left(-5\right)y=-7\times 55$$

सरल गर्नुहोस्।

$$-63x+18y=-351,-63x+35y=-385$$

बराबर चिन्हको प्रत्येक भागमा समान पदहरूलाई घटाएर -63x+18y=-351 बाट -63x+35y=-385 घटाउनुहोस्।

$$-63x+63x+18y-35y=-351+385$$

63x मा -63x जोड्नुहोस् समाधान हुन सक्ने एउटा मात्र चर भएको समीकरण छोड्दै -63x र 63x राशी रद्द हुन्छन्।

$$18y-35y=-351+385$$

-35y मा 18y जोड्नुहोस्

$$-17y=-351+385$$

385 मा -351 जोड्नुहोस्

$$-17y=34$$

दुबैतिर -17 ले भाग गर्नुहोस्।

$$y=-2$$

9x-5y=55 मा y लाई -2 ले प्रतिस्थापन गर्नुहोस्। परिणामी समीकरणमा एउटा मात्र चर समावेश भएकोले, तपाइँले x लाई सिधै हल गर्न सक्नुहुन्छ।

$$9x-5\left(-2\right)=55$$

-5 लाई -2 पटक गुणन गर्नुहोस्।

$$9x+10=55$$

समीकरणको दुबैतिरबाट 10 घटाउनुहोस्।

$$9x=45$$

दुबैतिर 9 ले भाग गर्नुहोस्।

$$x=5$$

अब प्रणाली समाधान भएको छ।

$$x=5,y=-2$$